Resposta:

a) Para encontrar o terceiro fator do polinômio -18x³y + 6x²y, podemos dividir os dois primeiros fatores conhecidos (3x e 2xy) utilizando a técnica da divisão de polinômios. Primeiro, vamos escrever a divisão:

     3x * (     )

------------------

18x³y - 6x²y

Agora, precisamos preencher o espaço em branco com um termo que, quando multiplicado por 3x, produza o primeiro termo do polinômio original (-18x³y). Esse termo é -6xy, já que (-6xy) * (3x) = -18x³y. Então, temos:

     3x * (-6y)

------------------

18x³y - 6x²y

      -----------

        0 + 6xy

Obtemos um resto de 6xy, o que nos permite escrever o polinômio completo como:

-18x³y + 6x²y = 3x * 2xy * (-6y) = -36x³y

Portanto, o terceiro fator do polinômio é -6y.

b) Para encontrar o terceiro fator do polinômio 54m³n + 18m², podemos utilizar o mesmo método de divisão de polinômios. Primeiro, vamos escrever a divisão:

      3m + 1

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54m³n + 18m²

Agora, precisamos multiplicar os dois primeiros fatores conhecidos (3m e 3m+1) para obter o primeiro termo do polinômio original (54m³n). Temos:

(3m) * (18mn) = 54m²n

Então, escrevemos a divisão da seguinte forma:

      3m + 1

------------------

54m³n + 18m²

---------------

        0 + 0

Obtemos um resto zero, o que significa que o polinômio pode ser escrito na forma de produto dos dois primeiros fatores já conhecidos (3m e 3m+1):

54m³n + 18m² = 3m * (18mn + 6m)

Portanto, o terceiro fator do polinômio é 18mn + 6m ou 6m(3n+1).