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EX3

Partie A

Etudier le sens de variation des suites suivantes:

a) pour tout entier naturel n ≥ 1 ; Un = 2 + 1/n

 Un+1 = 2 + 1/n+1 = 2(n +1) + 1)/(n + 1) = (2 n + 3)/(n + 1)

 Un = 2 + 1/n = (2 n + 1)/n

 Un+1 - Un = (2 n + 3)/(n + 1)  - (2 n + 1)/n = n(2 n + 3) - (2 n + 1)(n + 1)]/n(n +1)

 ⇒ 2 n² + 3 n - 2 n² - 3 n - 1)]/n(n + 1)

 =  - 1/n(n + 1)   

 on sait n > 0  et n + 1 > 0 ⇒ n(n + 1) > 0

 donc Un+1 - Un < 0   alors la suite (Un) est décroissante sur [1   ; + ∞[

 b) pour tout entier naturel n ≥ 1    Un = 2 n² - 3 n + 4

 Soit f une fonction définie sur un intervalle [1 ; + ∞[ et (Un) la suite définie par Un = f(n)

 si f est croissante sur [1 ; + ∞[  alors (Un) est croissante sur [1 ; + ∞[

 soit f(x) = 2 x² - 3 x + 4  étudions les variations de f sur [1 ; + ∞[

f est dérivable sur [1 ; + ∞[  et f'(x) = 4 x - 3 

 comme x > 0  alors f '(x) > 0 sur  [1 ; + ∞[ donc f est croissante sur [1 ; + ∞[

donc (Un) est croissante sur [1 ; + ∞[