Questão difícil de trigonometria.... Pergunta de ideia deTulioPD

gibsongip Fiquei pensando numa solução e bolei essa:

Fórmulas de transformação de soma em produto:

$\boxed{\boxed{sen~x+sen~y=2\cdot sen~\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot cos~\left(\frac{x-y}{2}\right)}}\\\\\\\boxed{\boxed{cos~x+cos~y=2\cdot cos~\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot cos~\left(\frac{x-y}{2}\right)}}$
_____________________________

Manipulando a primeira:

$sen~38\º+sen~12\º=m-n\\\\2\cdot sen~\left(\frac{38\º+12\º}{2}\right)\cdot cos~\left(\frac{38\º-12\º}{2}\right)=m-n\\\\2\cdot sen~25\º\cdot cos~13\º=m-n\\\\\boxed{sen~25\º=\frac{m-n}{2\cdot cos~13\º}}$

Manipulando a segunda:

$cos~38\º+cos~12\º=m+n\\\\2\cdot cos~\left(\frac{38\º+12\º}{2}\right)\cdot cos~\left(\frac{38\º-12\º}{2}\right)=m+n\\\\2\cdot cos~25\º\cdot cos~13\º=m+n\\\\\boxed{cos~25\º=\frac{m+n}{2\cdot cos~13\º}}$

Agora:

$cot~65\º=\dfrac{cos~65\º}{sen~65\º}$

Complemento de 65º = 25º

Sabemos que o cosseno de um ângulo agudo é igual ao seno de seu complemento e o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento, logo:

cos 65º = sen 25º
sen 65º = cos 25º

Substituindo:

$cot~65\º=\dfrac{cos~65\º}{sen~65\º}=\dfrac{sen~25\º}{cos~25\º}\\\\\\cot~65\º=\dfrac{sen~25\º}{cos~25\º}\\\\\\cot~65\º=\dfrac{\left(\frac{m-n}{2cos13\º}\right)}{\left(\frac{m+n}{2cos13\º}\right)}\\\\\\cot~65\º=\dfrac{m-n}{2\cdot cos~13\º}\cdot\dfrac{2\cdot cos~13\º}{m+n}\\\\\\\boxed{\boxed{cot~65\º=\dfrac{m-n}{m+n}}}$

Letra D

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TulioPD Mas eu queria a resolução sem o uso de calculadora, até porque é de vestibular.

Niiya

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SEN 38° (0,615) + SEN 12° (0,207) = 0,822
COS 38° (0,788) + COS 12° (0,978) = 1,766

COT DE 65° = 0,466

ai por teste e eliminação, a resposta será a letra D

m-n/m+n = 0,822/1,766 = 0,466

caso queira descobrir o valor de m e n faça:

1,766 - 0,822 = 0,944
para achar o menor numero
0,944 / 2 = 0,472 = n
1,766 - 0,472 = 1,294 = m

obs.: sempre busca outras fontes e exercicios resolvidos que sejam parecidos. t+

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TulioPD Obrigado! Muito bem detalhada sua resposta! Perfeito.

Niiya nada ;D

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