ab/(a+b) ≤ (a+b)/4

on peut multiplier les deux membres d'un inégalité par un même nombre positif

Si  ab/(a+b) ≤ (a+b)/4  ( on multiplie par 4 et par a+b)

il en est de même de  4ab  ≤ (a+b)²

                                    4ab  ≤ a² + 2ab + b

                                    0  ≤ a² -4ab + 2ab + b²

                                    0  ≤ a² -2ab + b²

                                    0  ≤  (a - b)²

cette dernière inégalité est vraie, donc la 1ère l'est aussi