Bonsoir
Aidez moi à faire cet exercice svp
1.Lorsque 0 < ou égal à u < v ; comparer:
a) 2u^2 et 2v^2
b) 1/u+1 et 1/v+1
En déduire que le sens de variation de la fonction f définie sur [0; +l'infinie [ par
f (x)= 2x^2 - 1/x+1
2. Démontrer que la fonction g définie par
g (x)= 1/racine carrée de 1+x^2 est monotone sur ]- l'infinie; 0] et sur [0; +l'infinie[
Merci dd'avance ! !
Aidez moi à faire cet exercice svp
1.Lorsque 0 < ou égal à u < v ; comparer:
a) 2u^2 et 2v^2
b) 1/u+1 et 1/v+1
En déduire que le sens de variation de la fonction f définie sur [0; +l'infinie [ par
f (x)= 2x^2 - 1/x+1
2. Démontrer que la fonction g définie par
g (x)= 1/racine carrée de 1+x^2 est monotone sur ]- l'infinie; 0] et sur [0; +l'infinie[
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a)
on a :
u ≤ v ⇔ u² ≤ v² ⇔ 2u² ≤ 2v²
u ≤ v ⇔ u+1 ≤ v+1 ⇔ 1/(u+1) ≥ 1/(v+1)
b)
on a:
2u² ≤ 2v² et 1/(u+1) ≥ 1/(v+1)⇔ -1/(u+1) ≤ -1/(v+1)
alors :
2u²-1/(u+1) ≤ 2v²-1/(v+1) ⇔ f(u) ≤ f(v)
alors on a : 0 ≤ u ≤ v et f(u) ≤ f(v)
donc f est croissante sur [0;+∞[
2)
soit x et y de IR⁺ tel que : x ≤ y
x ≤ y ⇔ √(1+x²) ≤ √(1+y²) ⇔ 1/[√(1+x²)] ≥ 1/[√(1+y²)] ⇔ g(x) ≥ g(y)
alors g est décroissante sur IR⁺
donc g est monotone sur IR⁺
soit x et y de IR⁻ tel que : x ≤ y
x ≤ y ⇔ √(1+x²) ≥ √(1+y²) ⇔ 1/[√(1+x²)] ≤ 1/[√(1+y²)] ⇔ g(x) ≤ g(y)
alors g est croissante sur IR⁻
donc g est monotone sur IR⁻