bonjour

AB  = 2

AC = 4

D est le milieu de  AB  donc  BD = DA = 1  

BAC est rectangle en  A  

BC²  = 2 ² + 4 ²

BC² = 4 + 16 = 20

BC = √20  = 2√5  

BD/BA = BE/BC  = DE/AC

1/2 = DE/4

DE =   4 : 2 = 2

BE

1/2 = BE/ 2√5

BE = 2 √5 : 2 =   √5  = 2.236067978

1/2 = 2/4

1 * 4 = 4

2 * 2 = 4

les rapports de Thalès sont égaux donc  DE et  AC sont  //

donc  E est le milieu de  BC

Bonjour,

l'exercice 112 n'est pas très compliqué puisqu'il ne demande pas de raisonnement compliqué mais s'apparente davantage à un exercice calculatoire.

1) On calcule les nombres demandés :

u(1) = - 1 = 2-1 = 1,  u(2) = - 1 = 3, u(3) = 7, u(5) = 31, u(7) = 127, u(8) = 255, u(9) =511 et u(11) = 2047

2) a) On cherche donc tous les n premiers parmi 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 et 11.

On a 2, 3, 5, 7 et 11 ( 8 = 4 x 2 et 9 = 3 x 3 donc non premier)

- Attention, 1 n'est pas un nombre premier car d'après la définition, un nombre premier ne doit être divisible que par deux entiers distincts, à savoir 1 et lui-même. En effet, 1 est divisible par 1 et par "lui-même" mais ils ne sont pas distincts.

On peut donc conclure que u(2), u(3), u(5), u(7) et u(11) appartiennent à cette catégorie.

b) Cette fois ci, on cherche les u(n) premiers parmi u(2), u(3), u(5), u(7) et u(11).

Une méthode simple pour déterminer si un nombre entier est premier est de vérifier qu'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carré. (A utiliser que pour des grands nombres)

- u(2) = 3 est un nombre premier

- u(3) = 7 est un nombre premier

- u(5) = 31 est un nombre premier

Je te montre la méthode pour le cas u(7)

Comme ≈11,27 , il nous suffit de vérifier que 127 n'est divisible par aucun des nombres 2,  3, 5, 7 et 11.

Les "règles de divisibilité" montrent que 127 n'est pas divisible par 2, 3 et 5.

Pour 7 et 11, on effectue les divisions euclidiennes :

- 127 = 18x7+1, le reste de la division de 127 par 7 est 1. 1

- 127 = 11x11+6, le reste de la division de 127 par 11 est 6.

127 n'est donc pas divisible par 7 et 11.

On en conclut que 127 est un nombre premier.

- u(7) = 127 est un nombre premier

- u(11) = 2047 n'est pas un nombre premier (2047 = 23 x 89).

3) La proposition est fausse est pour le démontrer il suffit de donner un contre-exemple à savoir u(11).

11 est un nombre premier mais u(11) = 2047 n'est pas un nombre premier.

On peut démontrer que pour qu'un de Mersenne soit premier, il est nécessaire mais non suffisant que son indice n le soit.

Cordialement,

H.R