bjr

a) on remplace x par -2 dans P(x)

P(-2) = 16*(-2)³ + 16*(-2)² - 29*(-2) + 6

        = -16*8 + 16*2 + 29*2 + 6 = 0

puisque P(-2) est nul, -2 est une solution du polynôme

et on peut mettre (x + 2) en facteur.

P(x) = (x + 2)(ax² + bx + c)

pour calculer a, b et c on peut faire la division de P(x) par (x + 2)

      16x³ + 16x² - 29x + 6         |_x + 2_________

-    ( 16x³ + 32x²)                          16x² - 16x + 3

___________

      0x³  - 16x²  - 29x

      -    ( - 16x² -   32x)

________________

                            3x    + 6

                     -     (3x    + 6)

                                       0

P(x) = (x + 2)(16x² - 16x + 3)

il reste à factoriser (16x² - 16x + 3)

ce trinôme a pour discriminant  Δ = (-16)² - 4*16*3

                                                        = 256 - 192 = 64 = 8²

il est positif, il a deux racines

x1 = (16 - 8)/2*16 = 1/4    et x2 = (16 + 8)/2*16 = 3/4

d'où

16x² - 16x + 3 = 16(x - 1/4)(x - 3/4

P(x) = 16(x + 2)(x - 1/4)(x - 3/4)

ou encore en multipliant chacun des deux derniers facteurs par 4

P(x) = (x + 2)(4x - 1)(4x - 3)

b)

P(x) = 0

(x + 2)(4x - 1)(4x - 3) = 0  équation produit

un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteur est nul

(x + 2)(4x - 1)(4x - 3) = si et seulement si

                        x + 2 = 0   ou   4x - 1 = 0   ou   4x - 3 = 0

                              x = -2   ou    x = 1/4      ou        x = 3/4

Cette équation a 3 solutions

S = {-2 ; 1/4 ; 3/4}

c)

P(x) < 0

(x + 2)(4x - 1)(4x - 3) < 0

le premier membre est factorisé, on fait un tableau des signes

x                    -2               1/4                    3/4

x+2        -       0        +                      +                      +

4x-1        -                -         0             +                      +

4x-3       -                -                         -         0            +

p(x)        -       0       +        0            -           0           +

                         //////////////                              ///////////////

S = ] -∞ ; -2[ U ]1/4 ; 3/4[

d)

P(x) / (1 - x²) ≥ 0

1 - x² = (1 - x)(1 + x)

s'annule pour 1 et -1

un quotient n'est pas défini lorsque son dénominateur est nul

ensemble de définition D = R - {-1 ; 1}

on complète le tableau des signes de P(x) avec

les signes de (1 - x) et (1 + x)

x              -2             -1           1/4           3/4            1

P(x)     -             +              +            -               +              +

1 - x    +             +              +            +              +       0      -

1 + x    -             -       0      +             +             +      0       +  

Q(x)    +    0      -       ||       +    0      -      0      +       ||        -

                   //////////                    //////////                    ///////////////////

S = ] -∞ ; -2] U ]-1 ; 1/4] U [3/4 ; 1[

e)

on pose x² = X

l'équation en X est la même que P(x)

on connaît les solutions

d'où  x² = -2   pas de solution en x

il reste à résoudre

x² = 1/4   et x² = 3/4