Resposta: Conjunto solução:   [tex]S=\{-1,\,1\}.[/tex]

Explicação passo a passo:

Resolver a equação exponencial

     [tex](2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x=4\\\\ \Longleftrightarrow\quad (2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x-4=0\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Coloque em evidência o fator exponencial [tex](2+\sqrt{3})^x:[/tex]

     [tex]\Longleftrightarrow\quad (2+\sqrt{3})^x\cdot \left[1+\dfrac{(2-\sqrt{3})^x}{(2+\sqrt{3})^x}-\dfrac{4}{(2+\sqrt{3})^x}\right]=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad (2+\sqrt{3})^x\cdot \left[1+\bigg(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\bigg)^{\! x}-4\cdot\bigg(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\bigg)^{\! x}\right]=0[/tex]

Como [tex](2+\sqrt{3})^x>0,[/tex] para todo x real, devemos ter então

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 1+\bigg(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\bigg)^{\! x}-4\cdot\bigg(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\bigg)^{\! x}=0\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Racionalize os denominadores das frações, multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 1+\bigg(\dfrac{(2-\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})\cdot (2-\sqrt{3})}\bigg)^{\! x}-4\cdot\bigg(\dfrac{1\cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})\cdot (2-\sqrt{3})}\bigg)^{\! x}=0[/tex]

Expanda os produtos dos conjugados nos denomadores:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 1+\bigg(\dfrac{(2-\sqrt{3})^2}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}\bigg)^{\! x}-4\cdot\bigg(\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}\bigg)^{\! x}=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1+\bigg(\dfrac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3}\bigg)^{\! x}-4\cdot\bigg(\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}\bigg)^{\! x}=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1+\bigg(\dfrac{(2-\sqrt{3})^2}{1}\bigg)^{\! x}-4\cdot\bigg(\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}\bigg)^{\! x}=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1+(2-\sqrt{3})^{2x}-4\cdot(2-\sqrt{3})^x=0\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

Observe que o produto dos conjugados resultou em 1. Isto significa que os números conjugados [tex]2+\sqrt{3}[/tex] e [tex]2-\sqrt{3}[/tex] são o inverso multiplicativo um do outro.

Faça a seguinte mudança de variável:

     [tex](2-\sqrt{3})^x=t,\quad\mathrm{com~}t>0.[/tex]

Substituindo em (iii), a equação fica

     [tex]\Longrightarrow\quad 1+t^2-4t=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad t^2-4t+1=0[/tex]

Resolva a equação quadrática na variável t, aplicando a fórmula resolutiva:

     [tex]a=1,~~b=-4,~~c=1\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Longrightarrow\quad \Delta=(-4)^2-4\cdot (1)\cdot (1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \Delta=16-4\\\\ \Longleftrightarrow\quad \Delta=12=2^2\cdot 3[/tex]

     [tex]t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\ \Longrightarrow\quad t=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{2^2\cdot 3}}{2\cdot 1}\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{2\cdot (2\pm\sqrt{3})}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=2\pm\sqrt{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=2-\sqrt{3}\quad\mathrm{ou}\quad t=2+\sqrt{3}[/tex]

Ambos os valores obtidos para t são positivos. Substitua de volta [tex]t=(2-\sqrt{3})^x:[/tex]

    [tex]\Longrightarrow\quad (2-\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\quad\mathrm{ou}\quad (2-\sqrt{3})^x=2+\sqrt{3}[/tex]

e como já observamos, [tex]2+\sqrt{3}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}.[/tex] Logo, segue que

    [tex]\Longleftrightarrow\quad (2-\sqrt{3})^x=2-\sqrt{3}\quad\mathrm{ou}\quad (2-\sqrt{3})^x=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\\\\ \Longleftrightarrow\quad (2-\sqrt{3})^x=(2-\sqrt{3})^1\quad\mathrm{ou}\quad (2-\sqrt{3})^x=(2-\sqrt{3})^{-1}[/tex]

Agora temos igualdades entre exponenciais de mesma base. Como a função exponencial é injetiva, as igualdades são iguais somente se os expoentes são iguais. Logo, devemos ter

     [tex]x=1\quad\mathrm{ou}\quad x=-1[/tex]

Conjunto solução:   [tex]S=\{-1,\,1\}.[/tex]

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Bons estudos.