Resposta:   [tex]\displaystyle\iint_{S}\mathrm{sen}(x^2+y^2)\,dy\,dx=\pi.[/tex]

Explicação passo a passo:

Calcular a integral dupla

    [tex]\displaystyle\iint_{S}\mathrm{sen}(x^2+y^2)\,dy\,dx[/tex]

sendo [tex]S[/tex] a região do plano definida por

    [tex]S=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~x^2+y^2\le \pi~~\mathrm{e}~~x\ge 0\}.[/tex]

Esta região é a porção que se encontra à direita do eixo [tex]Oy,[/tex]interior ao disco com centro na origem e raio [tex]\sqrt{\pi},[/tex] incluindo também o segmento que liga os pontos [tex](0,\,-\,\sqrt{\pi})[/tex] e [tex](0,\,\sqrt{\pi})[/tex] (interseções com o eixo [tex]Oy[/tex]).

Efetuando a mudança para coordenadas polares:

    [tex]\left\{\begin{array}{l}x(r,\,\theta)=r\cos\theta\\\\ y(r,\,\theta)=r\,\mathrm{sen\,}\theta \end{array}\right.\qquad\mathrm{com~}\left\{\begin{array}{l}-\dfrac{\pi}{2}\le \theta\le\dfrac{\pi}{2} \\\\ 0\le r\le \sqrt{\pi}\end{array}\right.[/tex]

e usamos relação de transformação

    [tex]x^2+y^2=r^2[/tex]

O módulo do Jacobiano desta transformação é [tex]|\mathrm{Jac\,}\varphi (r,\,\theta)|=r.[/tex]

Escrevendo a integral dupla nas novas coordenadas, temos

    [tex]\begin{array}{l}\displaystyle=\iint_{S'(r,\,\theta)}\mathrm{sen}(r^2)\cdot |\mathrm{Jac\,}\varphi(r,\,\theta)|\,dr\,d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\sqrt{\pi}}\mathrm{sen}(r^2)\cdot r\,dr\,d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[\int_0^{\sqrt{\pi}}\mathrm{sen}(r^2)\cdot r\,dr\right]d\theta\end{array}[/tex]

Integrando a função em [tex]r,[/tex] obtemos

    [tex]\begin{array}{l}\displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\,\frac{\cos(r^2)}{2}\right]_{r=0}^{r=\sqrt{\pi}}d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\,\frac{\cos((\sqrt{\pi})^2)}{2}+\frac{\cos(0^2)}{2}\right]d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\,\frac{\cos(\pi)}{2}+\frac{\cos(0)}{2}\right]d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\,\frac{(-1)}{2}+\frac{1}{2}\right]d\theta\end{array}[/tex]

    [tex]\begin{array}{l}\displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1\,d\theta\\\\ =\theta\Big|_{-\pi/2}^{\pi/2}\\\\ =\dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\\\\ =\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\\\\ =\pi\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}[/tex]

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