Um catavento gigante foi construído próximo aos prédios da Matemática, da Física e da Geologia, como ilustrado na figura abaixo.
Um certo dia, quando o catavento girava no sentido anti-horário, de forma que as pontas das hélices tinham uma aceleração centrípeta de 192,4 m/s2, a ponta de uma das hélices se partiu (aproximadamente na posição mostrada na figura) e foi lançada em direção aos prédios próximos. A ponta da hélice acabou atingindo um dos prédios, tendo uma velocidade de módulo 93,4 m/s e direção 66,6° abaixo da horizontal no instante em que estava atingindo o prédio. Considere a ponta da hélice como uma partícula. Usando g = 9,80 m/s2, desprezando a resistência do ar e sabendo que o comprimento de cada hélice é 20,0 m, responda às questões abaixo.
a) Qual dos prédios foi atingido pela ponta da hélice? Prove matematicamente, colocando como resposta a distância x entre o ponto em que a ponta da hélice se parte e o ponto onde ela atinge um dos prédios.
Expresse sua resposta em metros, com três algarismos significativos.
Um certo dia, quando o catavento girava no sentido anti-horário, de forma que as pontas das hélices tinham uma aceleração centrípeta de 192,4 m/s2, a ponta de uma das hélices se partiu (aproximadamente na posição mostrada na figura) e foi lançada em direção aos prédios próximos. A ponta da hélice acabou atingindo um dos prédios, tendo uma velocidade de módulo 93,4 m/s e direção 66,6° abaixo da horizontal no instante em que estava atingindo o prédio. Considere a ponta da hélice como uma partícula. Usando g = 9,80 m/s2, desprezando a resistência do ar e sabendo que o comprimento de cada hélice é 20,0 m, responda às questões abaixo.
a) Qual dos prédios foi atingido pela ponta da hélice? Prove matematicamente, colocando como resposta a distância x entre o ponto em que a ponta da hélice se parte e o ponto onde ela atinge um dos prédios.
Expresse sua resposta em metros, com três algarismos significativos.
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Resposta:
296m
Explicação:
Para descobrir qual dos prédios foi atingido pela ponta da hélice, precisamos calcular a trajetória que a partícula segue após se desprender do catavento. A partir dos dados fornecidos, podemos calcular a velocidade inicial da partícula em termos de suas componentes horizontal e vertical:
Vx = V * cos(66,6°) = 33,6 m/s
Vy = V * sen(66,6°) = -86,2 m/s
A aceleração vertical é dada pela aceleração da gravidade, g. A aceleração horizontal é nula, já que desprezamos a resistência do ar. Portanto, a trajetória da partícula é uma parábola invertida. Podemos usar a equação da posição para calcular a posição vertical (y) da partícula em função do tempo (t):
y = Vy*t + (1/2)*g*t^2
Sabemos que a partícula atinge o prédio quando y = -h, onde h é a altura do prédio em relação ao solo. Portanto, podemos escrever:
-h = -86,2*t + (1/2)*g*t^2
Para estimar o tempo t, podemos usar a equação da velocidade vertical:
Vy = -g*t
t = -Vy/g = 8,80 s
Substituindo esse valor na equação da posição, obtemos:
h = 379,8 m
Isso significa que o prédio atingido pela ponta da hélice é o prédio de Física, que tem uma altura de aproximadamente 38 m. Para confirmar matematicamente, podemos calcular a distância horizontal entre o ponto em que a ponta da hélice se desprende do catavento e o prédio de Física. Essa distância é dada por:
x = Vx * t = 295,7 m
Portanto, a resposta é:
a) O prédio atingido pela ponta da hélice foi o prédio de Física, e a distância entre o ponto em que a ponta da hélice se partiu e o ponto em que ela atinge o prédio é de 296 m.
Espero ter ajudado!!