salut à tous j'ai besoin d'aide pour mon dm de maths svp merci beaucoup ☺️
On considere la fonction f définie sur ]-5; +[par: f(x) = 5x x + 5 et la fonction g définie sur R par: g(x) = x2 + x. 8 1. À l'aide d'un logiciel de géométrie ou d'une cal- culatrice, conjecturer une valeur de l'abscisse a en laquelle les courbes représentatives des fonctions fet g auraient une tangente commune (c'est-à-dire une tangente à la courbe représentative de la fonction f qui soit également tangente à la courbe représentative de la fonction g).
2. Déterminer f'(a) et g'(a).
3. Vérifier la conjecture.
On considere la fonction f définie sur ]-5; +[par: f(x) = 5x x + 5 et la fonction g définie sur R par: g(x) = x2 + x. 8 1. À l'aide d'un logiciel de géométrie ou d'une cal- culatrice, conjecturer une valeur de l'abscisse a en laquelle les courbes représentatives des fonctions fet g auraient une tangente commune (c'est-à-dire une tangente à la courbe représentative de la fonction f qui soit également tangente à la courbe représentative de la fonction g).
2. Déterminer f'(a) et g'(a).
3. Vérifier la conjecture.
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Réponse :
Explications étape par étape :
1. A partir de l'image, on peut conjecturer que f et g admettent la même tangente au point (0;0). soit a = 0
2. A partir du même graphe, f'(a) = g'(a) = 1
3. Pour calculer la dérivée de f on applique la formule:
(u/v)' = (u'.v - u.v')/(v²)
f'(x) = (5*(x+5) - 5x)/(x+5)² = 25 / (x+5)²
g'(x) = 2x + 1
f'(a) = g'(a)
équivaut 25 / (a+5)² = 2a + 1
soit (2a + 1).(a + 5)² = 25
(2a + 1) (a² + 10a + 25) = 25
2a³ + 20a² + 50a + a² + 10a + 25 = 25
2a³ + 21a² + 60a = 0
a . (2a² + 21a + 60) = 0
On montre que 2a² + 21a + 60 >0 (voir ** plus bas)
et on déduit que seul a=0 est une solution de f'(a) = g'(a) CQFD.
On peut par la même occasion vérifier que f'(a)=g'(a) = 1 tel que conjecturé en question 2.
** Pour montrer que 2a² + 21a + 60 >0
on peux étudier la variation du polynôme h(x) = 2x² + 21x + 60
h'(x) = 4x +21
h'(-21/4) = 0
h'(x)<0 pour tout x < -21/4, la fonction est décroissante sur ]-5 ; -21/4[
h'(x)>0 pour tout x > -21/4, la fonction est croissante sur ]-21/4 ; +oo[
donc h(x) ≥ h(-21/4) pour tout x dans ]-5 ; +oo[
h(-21/4) = 21²/8 + 21²/4 + 60 >0