Réponse :

montrer que DC = CE = 2IJ

utilisons le théorème des milieux  " la droite qui passe par les milieux de 2 côtés est parallèle au troisième côté

dans notre cas  le 3ème côté est (AB)  donc  (IJ) // (AB)

puisque (DE) // (AB)  donc (IJ) // (DE)

(IJ) // (DC)  donc d'après le th.Thalès on a; AJ/AC = IJ/DC  

⇔ AJ/2AJ = IJ/DC   (puisque (BJ) est une médiane donc AJ = JC)

⇔ 1/2 = IJ/DC

(IJ) // (CE) donc d'après le th.Thalès on a; BI/BC = IJ/CE ⇔ BI/2BI = IJ/CE

⇔ 1/2 = IJ/CE

Donc  IJ/CE = IJ/DC  ⇔ IJ x DC = IJ x CE  ⇔ DC = CE

puisque  DC = CE   ⇔ 1/2 = IJ/CE  ⇔ CE = 2 IJ

                                ⇔ 1/2 = IJ/DC  ⇔ DC = 2 IJ

Donc  DC = CE = 2 IJ

puis en déduire que DE = 4 IJ ; préciser la nature du quadrilatère ABCE

puisque DC  = CE = 2 IJ  et on a DE = DC + CE  = 2 IJ + 2 IJ = 4 IJ

le quadrilatère ABCE est un parallélogramme car ses diagonales se coupent au même milieu J

Explications étape par étape

bjr

ex 19

propriété :

Dans un triangle rectangle la médiane relative à l'hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse

• (BH) est la hauteur relative au côté [AC]

le triangle BHC est rectangle en H

l'hypoténuse est [BC]

M est le milieu de [BC]

[BM] est la médiane relative à l'hypoténuse

d'après la propriété: MH = BC/2

• même raisonnement dans le triangle BKC rectangle en K

                                   MK = BC/2

d'où MH = MK

le triangle MKH est isocèle