Salut aidez moi svp à résoudre cet exercice:
Soient a et b deux entiers naturels tq:
ab = 1944 et a ∧ b =18
1- Déterminer a ∨ b .
2- Déterminer les facteurs premiers communs dans les décompositions de a et b .
3- Déterminer les nombres a et b.
Soient a et b deux entiers naturels tq:
ab = 1944 et a ∧ b =18
1- Déterminer a ∨ b .
2- Déterminer les facteurs premiers communs dans les décompositions de a et b .
3- Déterminer les nombres a et b.
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Bonjour,
1) on sait : ab = a^b x avb
donc avb = 1944/18 = 108
2) a^b = 18
18 = 1x2x3x3
donc facteurs communs : 1, 2, 3²
3) a = 18p et b = 18q
⇒ ab = 18² x pq = 324pq
avb = 108 ⇒ 108 = ka et 108 = k'b avec k et k' premiers entre eux
⇒ ab = 108/k x 108/k'
⇔ 1944 = 108²/kk'
⇒ kk' = 108²/1944 = 6
6 = 1x2x3
⇒ k = 1 et k' = 6 (ou inversement)
ou k = 2 et k' = 3 (ou inversement)
donc :
a = 108/k = 108/1 = 108 et b = 108/k' = 108/6 = 18 ⇒ (a,b) = (108,18) ou (18,108)
ou
a = 108/2 = 54 et b = 108/3 = 36 ⇒ (a,b) = (54,36) ou (36,54)