Réponse :

f(x)=(2lnx +1)/x sur ]0;+oo[

limites

x tend vers 0+ , f(x) tend vers -oo  

si x tend vers +oo , f(x) tend vers 0+

dérivée: f(x) est de la forme u/v sa dértivée est (u'v-v'u)/v² avec

u=2lnx + 1      u'=2/x           v=x    v'=1

f'(x)=(2-2lnx -1)/x²=(-2lnx +1)/x²

f'(x)=0 si 2lnx=1   soit lnx=1/2 solution x=e^(1/2) =V(e)

tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      0                     Ve                                    +oo

f'(x)   .............+............0.....................-.........................

f(x)   II-oo....croi.........f(Ve)..........décroi.............0+

Calcule f(Ve)  

équation de la tangente: on applique la formule y=f'(1)(x-1)+f(1)

il suffit de remplacer x par 1 dans la formule développer et réduire pour obtenir la forme y=ax+b

3) point d'inflexion on calcule la dérivée seconde

f"(x)=[(-2/x)x²-2x(-2lnx +1)]/x^4=-2x(1-2lnx +1)/x^4=-2(2-2lnx)/x³

cette dérivée seconde s'annule pour 2-2lnx=0 soit  pour lnx=1  

solution x=e   le point d'abscisse x=e est un point d'inflexion; la courbure de la courbe change de sens.

4) f(x)=2*(1/x)*lnx +1/x

on note que 2*(1/x)*lnx est de  la forme 2*u'*u  dérivée de u²   donc la primitive de 2*(1/x)*lnx est (ln x)²

celle de 1/x est lnx

F(x)=(lnx)²+lnx +cste =(lnx) (1+lnx)+cste  

Pour l'intégrale de (1/4) f(x) dx sur [1;5]  tu calcules

I=(1/4)*[F(5)-F(1)]  comme ln1=0 il reste

I=(1/4)F(5)= ........remplace ( valeur exacte puis arrondie)  

Explications étape par étape