Salut tout le monde!
J'ai besoin de la solution de la deuxième question mais vous avez besoin de faire le tableau de variation en 1! Merci pour votre aide!
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1) L'ensemble de définition de la fonction est tel que : 2 - e^x > 0 ,
donc 2 > e^x donc Ln(2) > x , donc Df = ] - ∞ ; Ln(2) [ .
On a : f ' (x) = 1 + (2 - e^x)'/(2 - e^x) = 1 - e^x / (2 - e^x)
= (2 - e^x - e^x)/(2 - e^x) = (2 - 2e^x)/(2 - e^x) = 2 (1 - e^x)/(2 - e^x) .
Sur ] - ∞ ; Ln(2) [ , 2 - e^x > 0 donc f ' (x) est de même signe que 1 - e^x .
On a : 1 - e^x = 0 donc 1 = e^x donc Ln(1) = Ln(e^x) donc 0 = x ,
et 1 - e^x > 0 donc 1 > e^x donc Ln(1) > Ln(e^x) donc 0 > x ,
de même 1 - e^x < 0 donc 1 < e^x donc Ln(1) < Ln(e^x) donc 0 < x .
x - ∞ 0 Ln(2)
f'(x) + 0 -
0
f(x) / \
/ \
/ \
- ∞ -∞
2) e^(y - x) + e^x > 2 donc e^y e^(-x) + e^x > 2
donc e^y + e^(2x) > 2e^x
donc e^y > - e^(2x) + 2e^x
donc e^y > e^x (-e^x + 2)
donc Ln(e^y) > Ln(e^x (-e^x + 2)) = Ln(e^x) + Ln(2 - e^x)
donc y > x + Ln(2 - e^x) ,
donc l'ensemble des solutions est tout le plan privé de la courbe C et des points qui sont confinés sous la courbe : l'espace hachuré dans la figure .