Resposta:

Esta é uma série geométrica, pois a razão entre termos consecutivos é constante (r = 2/3). A série converge se |r| < 1, ou

se |2/3| < 1. Neste caso, |2/3| = 2/3 < 1, então a série converge. Para calcular para qual valor converge, podemos usar a fórmula geral para uma série geométrica:

Explicação passo a passo:

S = a_1 / (1 - r)

onde S é o valor para o qual a série converge, a_1 é o primeiro termo (no caso, 2/3^1), e r é a razão (no caso, 2/3). Substituindo esses valores na fórmula, temos:

S = 2/3 / (1 - 2/3)

S = 2/3 / (1/3)

S = 2

Então, a série converge para o valor de 2.

Resposta:

Olá!

Vamos calcular os 4 primeiros termos da sequência.

[tex]a_1 = 2^{(2*0)}3^{(1-0)} = 2^03^1= 1(3) = 3[/tex]

[tex]a_2= 2^{(2*1)}3^{(1-1)} = 2^23^0= 4(1)=4[/tex]

[tex]a_3 = 2^{(2*2)}3^{(1-2)} = 2^43^{-1}= 16*3^{-1} = 16 * 1/3^1 = 16/3[/tex]

[tex]a_4 = 2^{(2*3)}3^{(1-3)} = 2^63^{-2}= 64*3^{-2} = 64 * 1/3^2 = 64/9[/tex]

Com os elementos acima podemos afirmar que a série é uma série geométrica, isto é, os termos estão em progressão geométrica e a razão é constante e igual a 4/3.

q = 4/3

Veja que

[tex]q = a_4/a_3 =4/3[/tex]

[tex]q =\frac{64/9}{16/3}[/tex]

[tex]q =64/9*(3/16)\\[/tex]

q = 4/3

Conclui-se então que, como |q| ≥ 1, então a série é divergente, a soma dos termos da sequência é uma soma que tende ao infinito.

[tex]\lim_{n \to \infty} 2^{2n}3^{n-1} = + \infty[/tex]