Seja A um anel e B um subconjunto não vazio de A, então B é um subanel de A se e somente se: ∀a,b, ∈ B, tem-se a-b ∈ B, e a∙b ∈ B. Nesse contexto, julgue as afirmações que se seguem e marque (V) para verdadeiro e (F) para falso.
( ) B é fechado em relação à operação de soma (+) e produto (∙) de A.
( ) Se B é um subanel de A, então B herda os operadores binários de A, bem como suas propriedades.
( ) Se B é um subanel de A, então 0 ∈ B, ou seja, B contém o elemento neutro da soma.
( ) Se B é um subanel de A, é possível encontrar a,b ∈ B tal que a+b ∉ B.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
A.
V, V, F, F.
B.
V, F, V, F.
C.
V, F, F, V.
D.
V, V, V, F.
E.
V, F, V, F.
( ) B é fechado em relação à operação de soma (+) e produto (∙) de A.
( ) Se B é um subanel de A, então B herda os operadores binários de A, bem como suas propriedades.
( ) Se B é um subanel de A, então 0 ∈ B, ou seja, B contém o elemento neutro da soma.
( ) Se B é um subanel de A, é possível encontrar a,b ∈ B tal que a+b ∉ B.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
A.
V, V, F, F.
B.
V, F, V, F.
C.
V, F, F, V.
D.
V, V, V, F.
E.
V, F, V, F.
Lista de comentários
Resposta:
VVVF
( ) B é fechado em relação à operação de soma (+) e produto (∙) de A.
( ) Se B é um subanel de A, então B herda os operadores binários de A, bem como suas propriedades.
( ) Se B é um subanel de A, então 0 ∈ B, ou seja, B contém o elemento neutro da soma.
( ) Se B é um subanel de A, é possível encontrar a,b ∈ B tal que a+b ∉ B.
Segundo as propriedades da estrutura algébrica de anel, concluímos que a sequência correta é VVVF.
Estruturas algébricas
Na Álgebra Moderna estudamos várias estruturas algébricas, dentre as mais conhecidas estão os anéis, os corpos e os grupos. A questão proposta aborda as propriedades dos anéis, vamos analisar as afirmações.
Observe que se a*b pertence a B, então tomando a = -1, teremos que (-1)*b = -b pertence a B. Dessa forma, podemos afirmar que:
[tex]a - (-b) = a + b \in B[/tex]
Ou seja, B é fechado para as operações de soma e produto. Com essa informação concluímos que a afirmação I é verdadeira e que a afirmação IV é falsa.
Uma definição de subanel, equivalente à descrita no enunciado da questão, é de um subconjunto de um anel que ainda possui a estrutura de anel, para isso consideramos as mesmas operações, portanto, a afirmação II é verdadeira.
Como a*b pertence a B para quaisquer elementos a e b do subanel B, podemos tomar a = 0, de onde concluímos que a afirmação III é verdadeira, pois:
[tex]a \cdot b \in B \Rightarrow 0 \cdot b \in B \Rightarrow 0 \in B[/tex]
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