C'est une démo classique

et c'est pas Q mais R\Q car racine de 2 est irrationnel

il faut utiliser un raisonnement par l'absurde on suppose que √2 est rationnel et donc qu'il s'écrit comme une fraction irréductible. Donc il existe p et q deux entiers tels que

√2 = p/q  ou encore p = q*√2  et sachant que q ne divise pas p (fraction irréductible)

on a donc p²=2q²  ce qui signifie que p² est pair. Donc p est pair . On peut donc l'écrire p= 2m avec m un entier.

donc ceci se réécrit : 4m²=2q² donc 2m² = q² donc q² est pair. D'où q est pair.

Donc finalement p et q sont pairs, donc on peut simplifier la fraction p/q par 2. Ce qui est absurde par rapport à l'hypothèse de départ sur l'irréductibilité de la fraction p/q