Soit abc un triangle non équilatéral. on désigne par O le centre du cercle circonscrit à ce triangle. On note A', B' et C' les milieux respectifs des côtés [BC] [AC] et [AB].
1) Soit G le point tel que (vecteur) GA + (vecteur) GB + (vecteur) GC = (vecteur) 0
A. Montre que (vecteur) GA + 2*(vecteur) GA' = (vecteur) 0. En déduire que les points G, A et A' sont alignés.
B. Démontrer de même que G, B et B' sont alignés.
C. En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABC.
2) Soit H le point tel que (vecteur) OA + (vecteur) OB + (vecteur) OC = (vecteur) OH.
A. Montrer que (vecteur) AH = 2*(vecteur) OA'. En déduire que la droite (AH) est perpendiculaire au côté [BC].
B. Montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
3) Montrer que (vecteur) OH = 3*(vecteur) OG. Que peut-on en déduire pour les points O, G et H ?
1) Soit G le point tel que (vecteur) GA + (vecteur) GB + (vecteur) GC = (vecteur) 0
A. Montre que (vecteur) GA + 2*(vecteur) GA' = (vecteur) 0. En déduire que les points G, A et A' sont alignés.
B. Démontrer de même que G, B et B' sont alignés.
C. En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABC.
2) Soit H le point tel que (vecteur) OA + (vecteur) OB + (vecteur) OC = (vecteur) OH.
A. Montrer que (vecteur) AH = 2*(vecteur) OA'. En déduire que la droite (AH) est perpendiculaire au côté [BC].
B. Montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
3) Montrer que (vecteur) OH = 3*(vecteur) OG. Que peut-on en déduire pour les points O, G et H ?
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J'adopte la notation des bipoints pour les vecteurs .
Tout d'abord on a :
A' est le milieu de [BC] , donc on a : BA' = A'C = 1/2 BC .
B' est le milieu de [AC] , donc on a : AB' = B'C = 1/2 AC .
C' est le milieu de [AB] , donc on a : AC' = C'B = 1/2 AB .
1)
A) GA' = GB + BA' = GB + 1/2 BC = GB + 1/2 (BG + GC)
= GB + 1/2 (-GB + GC) = 1/2 (GB + GC) = 1/2 (- GA) = - 1/2 GA ,
donc - 2 GA' = GA donc GA + 2 GA' = 0 .
On a : GA = - 2 GA' , donc GA et GA' sont colinéaires ,
donc (GA) // (GA') .
Et comme (GA) et (GA') ont un point commun : G , donc les (GA) et (GA') sont deux droites confondues , donc les points G , A et A' sont une même droite , donc ils sont alignés .
B) En adoptant la démarche suivie pour démontrer que les points G , A et A' sont alignés , et en remplaçant A par B et A' par B' , on démontre que les points G , B et B' sont alignés .
C) On a : (AA') et (BB') deux médianes du triangle ABC qui se coupent au point G, donc G est son centre de gravité .