Bonjour/Bonsoir comment allez-vous aou...?

Oui bien sur pas de problème.

la réponse c'est:

1. Pour montrer que f(x₂) - f(x₁) = (x₂ - x₁)(x₂ + x₁ + 2), il suffit simplement de développer cette expression. On a :

f(x₂) - f(x₁) = [(x₂)² + 2(x₂) + 3] - [(x₁)² + 2(x₁) + 3]

= (x₂)² - (x₁)² + 2(x₂) - 2(x₁)

= (x₂-x₁)(x₂+x₁) + 2(x₂-x₁)

= (x₂-x₁)(x₂+x₁+2)

On a bien montré que f(x₂) - f(x₁) = (x₂-x₁)(x₂ + x₁ + 2).

2. a) Si -1 ≤ x₁ ≤ x₂, alors on a :

x₂ + x₁ + 2 ≥ (-1) + (-1) + 2 = 0

et

(x₂-x₁) ≥ 0

Donc, d'après 1, on peut conclure :

f(x₂)-f(x₁) = (x₂-x₁)(x₂ + x₁ + 2) ≥ 0

b) Puisque f(x₂)-f(x₁) est supérieur ou égal à 0 pour tout x₂ et x₁ vérifiant -1 ≤ x₁ ≤ x₂, on peut en déduire que f est une fonction croissante sur [-1; +∞].

3. Pour démontrer que f est décroissante sur ]-∞; -1], on doit montrer que pour tout x₂ < x₁, on a f(x₂) > f(x₁).

Soit x₂ < x₁. Alors x₁ + x₂ + 2 < 0 et x₁ - x₂ > 0.

f(x₂)-f(x₁) = (x₂-x₁)(x₂ + x₁ + 2) + 2(x₁-x₂)

Comme x₂ + x₁ + 2 < 0 et x₁ - x₂ > 0, on a :

(x₂-x₁)(x₂ + x₁ + 2) < 0

et

2(x₁-x₂) > 0.

Par conséquent :

f(x₂)-f(x₁) < 0

On a ainsi montré que f est décroissante sur [-∞; -1].

J'espère vous avoir aider. Je vous demande pardon si jamais c'est faux. Prenez soins de vous et de votre famille. Bonne journée/ après-midi/fin d'après-midi/fin d'journée/bonne soirée/bonne fin d'soirée/bonne nuit.

À bientôt j'espère.

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Réponse :

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