Sur la figure le triangle A'B'C' est l image du triangle ABC de centre D on sat que AB= 4 cm BC = 3 cm et A'C' = 16 cm Quel est le facteur de cette homothetie?
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En l'absence de figure , il faut travailler avec une information supplémentaire.
On travaillera avec l'angle (BA;BC) qu'on nommera b .
On a : AC² = AB² + BC² - 2 BA . BC cos(b) ;
donc : AC² = 4² + 3² - 2 x 4 x 3 cos(b) = 16 + 9 - 24 cos(b)
= 25 - 24 cos(b) .
Supposons que l'homothétie est de facteur k ;
donc on a : (AC ')² = (k AC)² = k² AC² ;
donc : 16² = k² (25 - 24 cos(b)) ;
donc : 256 = k² (25 - 24 cos(b)) ;
donc : k² = 256/(25 - 24 cos(b)) ;
donc : k = 16/√((25 - 24 cos(b))) .
Conclusion :On déterminera k le facteur de l'homothétie en considérant l'angle donné dans la figure jointe à l'exercice .