Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

A)

1)

f(x)=2xe^-x

f est de la forme u x v avec :

u=2x donc u'=2

v=e^-x donc v'=-e^-x

f '(x)=2e^-x-2xe^-x

f '(x)=2e^-x(1-x)

2)

f '(x) est donc du signe de (1-x) car l'exponentielle est tjrs > 0.

1-x > 0 ==> x < 1

Variation :

x------->0..................1...................12

f '(x)-->.........+.........0........-..........

f(x)---->0.......C......2/e.......D.......24e^-12

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

3)

2/e ≈ 0.736

24e^-12 ≈ 0.00015

Sur [0;1] , f(x) est continue et strictement croissante passant de la valeur zéro pour x=0 à la valeur ≈ 0.736 pour x=1. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=0.5.

Sur [1;12] , f(x) est continue et strictement décroissante passant de la valeur  ≈0.736 pour x=1 à la valeur ≈ 0.00015 pour x=12. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel β tel que f(β)=0.5.

Voir graph pour aide de α et β .

α ≈ 0.36 car f(0.35) ≈ 0.49328 et f(0.36) ≈0.50233

β ≈ 2.15 car f(2.15) ≈ 0.50088 et f(2.16) ≈ 0.4982

B)

1)

a)

Voir graph.

Le taux d'alcoolémie monte considérablement pendant la 1ère heure pour atteindre son max au bout d'une heure. Au bout de 2 h , il dépasse encore un peu le taux légal de 0.50 g.L-1. Au bout de 2.15 h soit 2h et 10 min environ , il descend enfin au-dessous de 0.5g.L-1 . Mais le taux n'est pratiquement réduit à zéro qu'au bout de 7 à 8 h.

b)

Taux max au bout de 1h pour une valeur de ≈ 0.74 g.L-1.

2)

Voir le 1)a)