Explications étape par étape:

Pour montrer que \(AB + BC \leq AC\sqrt{2}\), nous pouvons utiliser le fait que \(ABC\) est un triangle rectangle en \(B\). Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore s'applique.

Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (\(AC\)) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (\(AB\) et \(BC\)).

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Maintenant, nous allons prendre la racine carrée des deux côtés de l'équation.

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]

Nous voulons montrer que \(AB + BC \leq AC\sqrt{2}\), donc multiplions chaque terme de l'inéquation par \(\sqrt{2}\).

\[ \sqrt{2} \cdot AB + \sqrt{2} \cdot BC \leq \sqrt{2} \cdot AC \]

Sachant que \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\), nous pouvons substituer cela.

\[ \sqrt{2} \cdot AB + \sqrt{2} \cdot BC \leq \sqrt{2 \cdot (AB^2 + BC^2)} \]

Maintenant, remplaçons \(AB^2 + BC^2\) par \(AC^2\).

\[ \sqrt{2} \cdot AB + \sqrt{2} \cdot BC \leq \sqrt{2} \cdot AC \]

Cette inéquation est vraie en raison de la manière dont elle a été dérivée du théorème de Pythagore. Par conséquent, nous avons montré que \(AB + BC \leq AC\sqrt{2}\) dans un triangle rectangle \(ABC\) en \(B\).