Réponse :

bonsoir il n'y a rien de compliqué pour un(e) élève de 1ère.

A savoir: formules des dérivées de base ; cours sur le signe du polynôme du second degré et identités remarquables (3ème)

Explications étape par étape :

ex2)

f(x)=x-7+25/x   sur R*

f'(x)=1-25/x²=(x²-25)/x² on note l'identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b)

donc f'(x)=(x-5)(x+5)/x²

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    -oo                       -5                       0                     +5                   +oo

f'(x)             +               0       -               II        -             0         +          

f(x)-oo.......C...............f(-5)......D........-oo II+oo.......D.....f(5)........C.............+oo

Calcule f(-5) et f(5). L'axe des ordonnées est une asymptote verticale et la droite y=x-7 une asymptote oblique.

Ex3) identique au précédent

f(x)4x+2+16/x  sur R*

f'(x)=4-16/x²=(4x²-16)/x²=(2x-4)(2x+4)/x² (identité remarquable)

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x   -oo                 -2                          0                         2                      +oo

f'(x).         +            0            -             II          -              0            +

f(x)-oo .......C..........f(-2).........D.......-ooII+oo........D..........f(2)...........C..........+oo

Calcule f(-2) et f(2).

L'axe des ordonnées est une asymptote verticale et la droite y=4x+2 une asymptote oblique.  

Nota: pour le signe de la dérivée, tu utilises ce que tu as appris concernant le signe du polynôme du second degré ax²+bx+c en fonction des solutions et du signe de "a"  ("-a" entre les racines)