Tapis de Sierpiński On considère un carré dont l'aire est de 1 m². Pour construire la figure ci-dessous, on partage ce carré en 9 carrés égaux et on noircit celui du centre. On partage chacun des 8 carrés restants en 9 carrés égaux et on noircit les 8 carreaux au centre. On recommence cette construction à chaque étape. Pour tout entier naturel n>1, A, désigne l'aire totale noircie lors de l'étape n. On a donc A, - Etape 0 Étape 1 Étape 2 Etape 3 1. a. En remarquant qu'à chaque étape, on noircit de la surface verte, justifier que pour tout entier naturel n> 1, on a A, 8 A+. b. A l'aide de la calculatrice ou d'un programme, donner les valeurs A,, A. A et Aso c. Conjecturer le sens de variation et la limite de (A). 2. Pour tout entier naturel n non nul, on pose B₁-A₂-1. a. Prouver que suite (B) est géométrique. b. Exprimer B, en fonction de n. c. En déduire l'expression de A, en fonction de n. d. Prouver la conjecture faite à la question 1.. 3. Peut-on avoir plus de 80 %, 95 %, 99 % du carré noirci ? Si oui, préciser les étapes correspondantes à chaque fois.​