Resposta:

[tex]ln|x|-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+c[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]\displaystyle\int \frac{1}{x^3+x} dx\\\\\frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx}{x^2+1} =\frac{A(x^2+1)+Bx^2}{x(x^2+1)}\implies~\\\\A(x^2+1)+Bx^2=1[/tex]

p/x = 0 ⇒ A = 1

p/x = 1 ⇒ B = -1

[tex]\displaystyle\int \frac{1}{x^3+x}dx= \displaystyle\int (\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1})dx[/tex]

x² + 1 = u ⇒ 2xdx = du ⇒ xdx = du/2

[tex]\displaystyle\int (\frac{1}{x} -\frac{x}{x^2+1})dx=ln|x| -\displaystyle\int \frac{\frac{1}{2}du }{u} =|lnx|-\frac{1}{2} ln|u| + c = ln|x|-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+c[/tex]

OBS: x² + 1 > 0, portanto não precisa figurar em módulo.