Resposta:

[tex]\dfrac{81}{5}\,\mathrm{sen^5}(x)-\dfrac{432}{7}\,\mathrm{sen^7}(x)+\dfrac{864}{9}\,\mathrm{sen^9}(x)-\dfrac{768}{11}\,\mathrm{sen^{11}}(x)+\dfrac{256}{13}\,\mathrm{sen^{13}}(x)+C.[/tex]

Explicação passo a passo:

Calcular a integral indefinida

    [tex]\displaystyle\int \mathrm{sen^4}(3x)\cos(x)\,dx\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Primeiramente, vamos expressar [tex]\mathrm{sen}(3x)[/tex] em termos de [tex]\mathrm{sen}(x).[/tex] Escrevendo 3x = 2x + x e aplicando a fórmula do seno da soma, obtemos:

    [tex]\mathrm{sen}(3x)=\mathrm{sen}(2x+x)\\\\=\mathrm{sen}(2x)\cos(x)+\cos(2x)\mathrm{sen}(x)[/tex]

Aplicando as fórmulas para o seno e o cosseno do arco duplo, a expressão acima fica

    [tex]=\big(2\,\mathrm{sen}(x)\cos(x)\big)\cos(x)+\big(\!\cos^2(x)-\mathrm{sen^2}(x)\big)\mathrm{sen}(x)\\\\ =2\,\mathrm{sen}(x)\cos^2(x)+\mathrm{sen}(x)\cos^2(x)-\mathrm{sen^3}(x)\\\\ =3\,\mathrm{sen}(x)\cos^2(x)-\mathrm{sen^3}(x)[/tex]

Substitua cos²(x) = 1 − sen²(x) acima:

    [tex]=3\,\mathrm{sen}(x)\big(1-\mathrm{sen^2}(x)\big)-\mathrm{sen^3}(x)\\\\ =3\,\mathrm{sen}(x)-3\,\mathrm{sen^3}(x)-\mathrm{sen^3}(x)\\\\ \therefore \quad \mathrm{sen}(3x)=3\,\mathrm{sen}(x)-4\,\mathrm{sen^3}(x)\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Substituindo na integral (i), obtemos

    [tex]\displaystyle =\int\big(3\,\mathrm{sen}(x)-4\,\mathrm{sen^3}(x)\big)^4\cos(x)\,dx\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

Faça a seguinte substituição:

    [tex]\mathrm{sen}(x)=u\quad\Longrightarrow\quad \cos(x)dx=du[/tex]

e a integral fica

    [tex]\displaystyle=\int (3u-4u^3)^4\,du[/tex]

Expandindo a quarta potência do polinômio em u (ver Binômio de Newton), obtemos

    [tex]\displaystyle=\int \big((3u)^4+4(3u)^3(-4u^3)+6(3u)^2(-4u^3)^2+4(3u)(-4u^3)^3+(-4u^3)^4\big)du\\\\\\=\int \big(81u^4+4(27u^3)(-4u^3)+6(9u^2)(16u^6)+4(3u)(-64u^9)+256u^{12}\big)du\\\\\\=\int \big(81u^4-432u^6+864u^8-768u^{10}+256u^{12}\big)du[/tex]

Temos que integrar um polinômio em u. Aplicamos a regra para a integral de potências:

    [tex]=\dfrac{81u^{4+1}}{4+1}-\dfrac{432u^{6+1}}{6+1}+\dfrac{864u^{8+1}}{8+1}-\dfrac{768u^{10+1}}{10+1}+\dfrac{256u^{12+1}}{12+1}+C \\\\\\=\dfrac{81u^5}{5}-\dfrac{432u^7}{7}+\dfrac{864u^9}{9}-\dfrac{768u^{11}}{11}+\dfrac{256u^{13}}{13}+C[/tex]

Substituindo de volta para a variável x, finalmente chegamos ao resultado:

    [tex]=\dfrac{81}{5}\,\mathrm{sen^5}(x)-\dfrac{432}{7}\,\mathrm{sen^7}(x)+\dfrac{864}{9}\,\mathrm{sen^9}(x)-\dfrac{768}{11}\,\mathrm{sen^{11}}(x)+\dfrac{256}{13}\,\mathrm{sen^{13}}(x)+C\quad\checkmark[/tex]

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Bons estudos!