Suponha que [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] e [tex]\int\limits^{1}_{-1} {x^2f(x)} \, dx =2[/tex] Encontre a função [tex]f(x)[/tex] que resule num valor mínimo de [tex]\int\limits^{1}_{-1} {[f(x)]^2} \, dx[/tex]
Ou seja, quando a = 5, b = 0 e c = 0, temos [tex]\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf[f(x)]^2\,dx[/tex] como um valor mínimo. Logo, a função que queríamos encontrar é:
gabrielribesss
Por que o valor mínimo se dá quando b = c = 0? Grato pela resposta!
Nasgovaskov
É a forma como podemos encontrar o valor de a e, consequentemente, o valor mínimo. É importante que a ≠ 0, mas para os outros coeficientes não importa. Vou trazer outra forma de identificar os coeficientes:
Na equação (i) encontramos que 2a/5 + 2c/3 = 2 => 6a + 10c = 30. Como não há a presença do coeficiente b, então suponhamos b = 0.
Nasgovaskov
Partindo para a equação (ii), na qual 2a²/5 + 4ac/3 + 2b²/3 + 2c², teremos apenas 2a²/5 + 4ac/3 + 2c² já que b é nulo. A fim de inserir 6a + 10c = 30 nesta equação, podemos reescrevê-la como:
Nasgovaskov
Como não há mais a presença do coeficiente c, então suponhamos c = 0. Assim, 6a + 10.0 = 2 => a = 5 , conclui-se que a = 5, b = 0 e c = 0 gera a função f(x) que atende as suposições iniciais.
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Resposta: f(x) = 5x²
Vamos lá. Supondo que f(x) = ax² + bx + c :
[tex]\begin{array}{l}\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf x^2\,f(x)\,dx=2\\\\\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf x^2\,(ax^2+bx+c)\,dx=2\\\\\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf(ax^4+bx^3+cx^2)\,dx=2\end{array}[/tex]
Pelo teorema fundamental do cálculo, no qual
, segue que:
[tex]\begin{array}{l}\int\sf(ax^4+bx^3+cx^2)\,dx\,\big|^{1}_{-1}=2\\\\\int\sf ax^4\,dx+\int\sf bx^3\,dx+\int\sf cx^2\,dx\,\big|^{1}_{-1}=2\\\\\sf\dfrac{ax^5}{5}+\dfrac{bx^4}{4}+\dfrac{cx^3}{3}\,\bigg|^{1}_{-1}=2\\\\\sf\dfrac{a(1)^5}{5}+\dfrac{b(1)^4}{4}+\dfrac{c(1)^3}{3}-\bigg(\dfrac{a(-1)^5}{5}+\dfrac{b(-1)^4}{4}+\dfrac{c(-1)^3}{3}\bigg)=2\\\\\sf\dfrac{a}{5}+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{3}-\bigg(-\dfrac{a}{5}+\dfrac{b}{4}-\dfrac{c}{3}\bigg)=2\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}\sf\dfrac{a}{5}+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{3}+\dfrac{a}{5}-\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{3}=2\\\\\sf\dfrac{2a}{5}+\dfrac{2c}{3}=2~(i)\end{array}[/tex]
Por hora ficamos por isso mesmo. Vamos agora calcular o valor mínimo de f(x) por:
[tex]\begin{array}{l}\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf[f(x)]^2\,dx=\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf(ax^2+bx+c)^2\,dx\\\\=\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf(a^2x^4+b^2x^2+c^2+2abx^3+2acx^2+2bcx)\,dx\\\\=\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf(a^2x^4+(2ac+b^2)x^2+c^2+2abx^3+2bcx)\,dx\end{array}[/tex]
Pelo teorema fundamental do cálculo:
[tex]\begin{array}{l}\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf[f(x)]^2\,dx=\int\sf(a^2x^4+(2ac+b^2)x^2+c^2+2abx^3+2bcx)\,dx\,\big|^{1}_{-1}\\\\=\int\sf a^2x^4\,dx+\int\sf (2ac+b^2)x^2\,dx+\int\sf c^2\,dx+\int\sf2abx^3\,dx+\int\sf2bcx\,dx\,\big|^{1}_{-1}\\\\\sf=\dfrac{a^2x^5}{5}+\dfrac{(2ac+b^2)x^3}{3}+c^2x+\dfrac{2abx^4}{4}+bcx^2\,\bigg|^{1}_{-1}\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}\sf=\dfrac{a^2}{5}+\dfrac{2ac+b^2}{3}+c^2+\dfrac{2ab}{4}+bc+\dfrac{a^2}{5}+\dfrac{2ac+b^2}{3}+c^2-\dfrac{2ab}{4}-bc\\\\\sf=\dfrac{2a^2}{5}+\dfrac{4ac+2b^2}{3}+2c^2~(ii)\end{array}[/tex]
Vejamos.. pela equação (i) anteriormente encontrada, temos:
[tex]\begin{array}{l}\sf\dfrac{2a}{5}+\dfrac{2c}{3}=2\\\\\sf\dfrac{6a+10c}{15}=2\\\\\sf6a+10c=15\cdot2\\\\\sf6a+10c=30\end{array}[/tex]
Sendo assim, vamos tentar inserir esse valor na equação (ii):
[tex]\begin{array}{l}\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf[f(x)]^2\,dx=\dfrac{2a^2}{5}+\dfrac{4ac}{3}+\dfrac{2b^2}{3}+2c^2\\\\\sf=\dfrac{6a^2+20ac+20b^2+30c^2}{15}\\\\\sf=\dfrac{6a^2+10ac+10ac+20b^2+30c^2}{15}\\\sf=\dfrac{a\overbrace{\sf(6a+10c)}^{\sf30}+10ac+20b^2+30c^2}{15}\\\\\sf=\dfrac{30a+10ac+20b^2+30c^2}{15}\end{array}[/tex]
Note que quando b = c = 0, temos que:
[tex]\begin{array}{l}\sf 6a+10(0)=30\implies 6a+0=30\iff a=\dfrac{30}{6}\iff a=5\end{array}[/tex]
Portanto,
[tex]\begin{array}{l}\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf[f(x)]^2\,dx=\dfrac{30(5)+10(5)(0)+20(0)^2+30(0)^2}{15}\\\\\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf[f(x)]^2\,dx=\dfrac{30(5)+0+0+0}{15}\\\\\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf[f(x)]^2\,dx=2(5)\\\\\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf[f(x)]^2\,dx=10\end{array}[/tex]
(esse é o valor mínimo.)
Ou seja, quando a = 5, b = 0 e c = 0, temos [tex]\int\limits^{\sf1}_{\sf-1}\sf[f(x)]^2\,dx[/tex] como um valor mínimo. Logo, a função que queríamos encontrar é:
[tex]\begin{array}{l}\sf f(x)=ax^2+bx+c\\\\\sf f(x)=5x^2+0x+0\\\\\red{\boldsymbol{\sf f(x)=5x^2}}\end{array}[/tex]
Na equação (i) encontramos que 2a/5 + 2c/3 = 2 => 6a + 10c = 30. Como não há a presença do coeficiente b, então suponhamos b = 0.
2a²/5 + 4ac/3 + 2c² = (6a² + 20ac + 30c²)/15
= (a(6a + 10ac) + 10ac + 30c²)/15
= (30a + 10ac + 30c²)/15
Se 6a + 10c = 30, então 10c = 30 - 6a e c = 3 - 3a/5:
= (30a + 10ac + (3 - 3a/5)²)/15
= [30a + a(30 - 6a) + (3 - 3a/5)²]/15
simplificando...
= (- 47a² + 470a + 75)/125
6a + 10.0 = 2 => a = 5
, conclui-se que a = 5, b = 0 e c = 0 gera a função f(x) que atende as suposições iniciais.