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Resposta:   [tex]x-y=\dfrac{2\ln(2)+i\cdot (2k+1)\pi}{\ln(2)}[/tex]

com k inteiro e [tex]i=\sqrt{-1}.[/tex]

Explicação passo a passo:

Primeiramente, tomemos o sistema de equações exponenciais:

     [tex]\left\{\begin{array}{l}2^x+2^y=1\\\\ 4^x-4^y=\dfrac{5}{3}\end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}2^x+2^y=1\\\\ (2^2)^x-(2^2)^y=\dfrac{5}{3}\end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}2^x+2^y=1\\\\ 2^{2x}-2^{2y}=\dfrac{5}{3}\end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc}2^x+2^y=1&\quad\mathrm{(i)}\\\\ (2^x)^2-(2^y)^2=\dfrac{5}{3}&\quad\mathrm{(ii)}\end{array}\right.[/tex]

Fatore a diferença entre quadrados no lado esquerdo da equação (ii), via produtos notáveis:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc}2^x+2^y=1&\\\\ (2^x+2^y)(2^x-2^y)=\dfrac{5}{3}&\quad\mathrm{(iii)}\end{array}\right.[/tex]

Na equação (iii), substitua [tex]2^x+2^y=1:[/tex]

     [tex]\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}2^x+2^y=1\\\\ (1)\cdot (2^x-2^y)=\dfrac{5}{3}\end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc}2^x+2^y=1&\quad\mathrm{(iv)}\\\\ 2^x-2^y=\dfrac{5}{3}&\quad\mathrm{(v)}\end{array}\right.[/tex]

Some as equações (iv) e (v) membro a membro:

     [tex]\Longrightarrow\quad 2^x+2^y+(2^x-2^y)=1+\dfrac{5}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\cdot 2^x=\dfrac{3+5}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\cdot 2^x=\dfrac{8}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^x=\dfrac{8}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\\\\ \Longleftrightarrow \quad 2^x=\dfrac{4}{3}\qquad\mathrm{(vi)}[/tex]

Substituindo (vi) em (v), temos

     [tex]\Longrightarrow\quad \dfrac{4}{3}-2^y=\dfrac{5}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^y=\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^y=-\dfrac{1}{3}\qquad\mathrm{(vii)}[/tex]

Não existe valor real para y de modo que a exponencial em (vii) resulte em valor negativo.

Portanto, o sistema não tem solução no conjunto dos pares ordenados de reais.

Assumindo que o sistema possa admitir valores complexos para x e y, tomemos o quociente das equações (vi) e (vii) membro a membro:

     [tex]\Longrightarrow\quad \dfrac{2^x}{2^y}=\dfrac{~\frac{4}{3}~}{~-\frac{1}{3}~}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{x-y}=\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{-3}{1}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{x-y}=-4\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{x-y}=4\cdot (-1)[/tex]

Escreva o número − 1 na forma exponencial complexa:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 2^{x-y}=4\cdot e^{i\cdot (2k+1)\pi}[/tex]

com k inteiro.

Tomando os logaritmos naturais de ambos os lados, temos

     [tex]\Longrightarrow\quad \ln(2^{x-y})=\ln(4\cdot e^{i\cdot (2k+1)\pi})\\\\ \Longleftrightarrow\quad \ln(2^{x-y})=\ln(4)+\ln(e^{i\cdot (2k+1)\pi}) \\\\\Longleftrightarrow\quad (x-y)\cdot \ln(2)=\ln(4)+i\cdot (2k+1)\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x-y)\cdot \ln(2)=\ln(2^2)+i\cdot (2k+1)\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x-y)\cdot \ln(2)=2\ln(2)+i\cdot (2k+1)\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad x-y=\dfrac{2\ln(2)+i\cdot (2k+1)\pi}{\ln(2)}[/tex]

com k inteiro e [tex]i=\sqrt{-1},[/tex] sendo esta a resposta no conjunto dos números complexos.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!

Utilizando produtos notáveis, podemos reescrever a segunda equação da seguinte forma:

[tex](2^x-2^y)(2^x+2^y)=\frac{5}{3}[/tex]

Da primeira equação, sabemos que [tex]2^x+2^y=1[/tex]. Substituindo, simplificamos a segunda equação para:

[tex]2^x-2^y=\frac{5}{3}[/tex]

Agora, somamos as duas:

[tex](2^x+2^y)+(2^x-2^y)=1+\frac{5}{3} \\2.2^x=\frac{8}{3}[/tex]

[tex]2^x=\frac{4}{3}[/tex]

Então, automaticamente:

[tex]2^y=1-\frac{4}{3} \\2^y=-\frac{1}{3}[/tex]

Fazendo o quociente entre [tex]2^x[/tex] e [tex]2^y[/tex]:

[tex]\frac{2^x}{2^y} =\frac{4/3}{-1/3}[/tex]

[tex]2^{x-y}=-4\\2^{x-y} = 4.(-1)\\2^{x-y}=4i^2\\2^{x-y}=(2i)^2\\x-y=2.log_2(2i)\\x-y=2.[log_2(2)+log_2(i)]\\x-y=2[1+log_2(i)][/tex]

Espero ter contribuído com a já brilhante resposta do amigo Lukyo.