Hello,
pourriez vous m'aider mon une partie d'un des exercices de mon DM de maths s'il vous plaît ? Je suis un peu en difficulté car je dois calculer la limite de cette suite. J'ai essayé pas mal de chose comme par exemple factoriser par (2024)^n ou (2023)^n mais je n'arrive jamais à lever ma forme indéterminée.
MERCI D'AVANCE POUR CEUX QUI M'AIDERONT !!!
[tex]Un = (2023)^n - n *(2024)^n[/tex]
pourriez vous m'aider mon une partie d'un des exercices de mon DM de maths s'il vous plaît ? Je suis un peu en difficulté car je dois calculer la limite de cette suite. J'ai essayé pas mal de chose comme par exemple factoriser par (2024)^n ou (2023)^n mais je n'arrive jamais à lever ma forme indéterminée.
MERCI D'AVANCE POUR CEUX QUI M'AIDERONT !!!
[tex]Un = (2023)^n - n *(2024)^n[/tex]
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Explications étape par étape:
Bonjour, ici, il te faut un petit peu d'intuition, pour anticiper la valeur de cette limite. Tu as effectivement une forme indéterminée, dont tu ne pourras pas te dépêtrer. Le facteur n devant (2024) t'empêche de factoriser correctement. Il te faudra donc appliquer un critère de divergence. Ici, intuitivement, tu sens bien que cette suite tendra vers -infini, car 2023 < 2024, et le signe négatif te permet de majorer.
Voyons ça rigoureusement, soit n, un entier naturel non nul :
2023 < 2024
<=> 2023^n < 2024^n car la fonction puissance est strictement croissante sur ]0 ; + infini[
<=> 2023^n - n*2024^n < 2024^n - n*2024^n
<=> Un < (1 - n)*2024^n.
Que se passe-t-il désormais ? Lorsque n tend vers + infini, -n tend vers - infini, donc 1 - n tend vers - infini.
En outre, 2024^n tend aussi vers + infini, car 2024 > 1.
Par produit, en appelant Vn la suite (1 - n)*2024^n, celle-ci tend vers - infini.
Tu as donc l'inégalité suivante : Un < Vn, telle que lim Vn = - infini lorsque n tend vers + infini. Intuitivement, cela signifie que, en + infini, tu pourras toujours trouver des valeurs de Un, telles que Un < Vn.
Une suite "plus petite" que - l'infini, ne peut tendre que vers - l'infini, ce qui prouve la divergence de Un.
Conclusion : lim Un = - infini.
Bonne journée