Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 1 [tex]m^3[/tex] de volume e espaço com a forma de um paralelepípedo-retângulo. O material a ser utilizado na confecção do fundo custa o dobro do que será utilizado nas laterais. Determinar as dimensões da caixa que minimizam o custo do material.
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Solução:
Queremos encontrar as dimensões de uma caixa ,sem tampa, com 1 [tex]m^3[/tex] de volume e espaço na forma de um paralelepípedo-retângulo para minimizar o custo de sua fabricação, para isso usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange.
Em problemas de otimização, o método dos multiplicadores de Lagrange, batizado em homenagem a Joseph Louis Lagrange, é um procedimento para encontrar os máximos e mínimos relativos de funções de múltiplas variáveis sujeitas a restrições. Antes de usar este método devemos encontrar nossa restrição e nossa função objetivo, a restrição para este caso é o volume da caixa já que não podemos fazer medições aleatórias pois podemos obter uma caixa com um volume maior.
Por definição, o volume corresponde ao espaço que a forma ocupa, portanto, é a multiplicação da altura (z) pela largura (y) e pelo comprimento, (x), portanto temos:
[tex]V\left(x,~y,~z\right)=xyz\quad\to\quad1~m^3=xyz\\\\ 1=xyz\quad\to\quad xyz-1=0[/tex]
A função objetivo é aquela que queremos minimizar ou maximizar, sabemos que queremos minimizar o custo de fabricação da caixa, para isso devemos encontrar a função custo. A função custo é igual ao custo da área dos laterais mais o custo da área da superfície (só existe uma pois não há tampa) da caixa, antes de encontrar a função custo devemos encontrar a área dos laterais e da superfície.
[tex]A_{Superficie}= xy[/tex]
[tex]A_{Laterais}= 2yz+2xz[/tex]
[tex]C\left(x,~y,~z\right)= 2yz+2xz+2xy[/tex]
Já podemos calcular as medidas para minimizar o custo dos materiais para a fabricação desta caixa já que temos nossa função objetivo e a função de restrição, anteriormente dissemos que vamos fazer esses cálculos pelo método dos multiplicadores de Lagrange. O método dos multiplicadores de Lagrange fornece a seguinte fórmula:
[tex]\begin{cases}\vec{\nabla }f\left(x,~y,~z\right)=\lambda\vec{ \nabla }g\left(x,~y,~z\right)\\ \\g\left(x,~y,~z\right)=0\end{cases}\qquad\to\qquad \begin{cases}\vec{\nabla }C\left(x,~y,~z\right)=\lambda \vec{\nabla }V\left(x,~y,~z\right)\\\\ V\left(x,~y,~z\right)=0\end{cases}[/tex]
Então, calculamos os gradientes das funções. Lembre-se que o vetor gradiente é aquele cujas componentes são as derivadas parciais da função:
[tex]\vec{\nabla} f\left(x,~y,~z\right)=\left<\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y},~\dfrac{\partial f}{\partial z}\right>\\ [/tex]
Calculando as derivadas parciais de [tex]V\left(x,~y,~z\right)[/tex] e [tex]C\left(x,~y,~z\right)[/tex] obtemos como resultado:
[tex]\dfrac{ \partial V}{\partial x} =\dfrac{ \partial }{ \partial x}\left(xyz-1\right)\qquad\to\qquad \dfrac{ \partial V}{ \partial x}= yz\\\\\\ \dfrac{ \partial V}{\partial y} =\dfrac{ \partial }{ \partial y}\left(xyz-1\right)\qquad\to\qquad \dfrac{ \partial V}{ \partial y}= xz\\\\\\ \dfrac{ \partial V}{\partial z} =\dfrac{ \partial }{ \partial z}\left(xyz-1\right)\qquad\to\qquad \dfrac{ \partial V}{ \partial z}= xy\\\\\\ \dfrac{\partial C}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}\left(2yz+2xz +2xy\right)\qquad \to\qquad \dfrac{\partial C}{\partial x}=2z+2y\\\\\\ \dfrac{\partial C}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}\left(2yz+2xz +2xy\right)\qquad \to\qquad \dfrac{\partial C}{\partial y}=2z+2x\\\\\\ \dfrac{\partial C}{\partial z}=\dfrac{\partial }{\partial z}\left(2yz+2xz +2xy\right)\qquad \to\qquad \dfrac{\partial C}{\partial z}=2y+2x[/tex]
Montamos o sistema:
[tex]\begin{cases} 2z+2y=\lambda yz\\2x+2z=\lambda xz\\ 2y+2x=\lambda xy\\ xyz-1=0\ \end{cases}[/tex]
O sistema parece um pouco complexo de resolver mas quando lhe dizemos que não é necessário calcular o valor da variável "λ" temos apenas que calcular "x", "y" e "z", portanto não é um sistema de equações com muita complexidade. Para resolver este sistema de equações vamos despejar "λ" nas 3 primeiras equações de tal forma que obtemos:
[tex]\begin{cases} \dfrac{2z+2y}{yz}=\lambda \\\\\dfrac{2x+2z}{xz}=\lambda \\\\ \dfrac{ 2y+2x}{xy}=\lambda \end{cases}[/tex]
Igualamos a primeira equação do sistema de equações pela segunda e terceira equaçõ, de tal forma que temos como resultado:
[tex]\dfrac{2z+2y}{yz}=\dfrac{2x+2z}{xz}\qquad\to\qquad \dfrac{2z}{yz}+\dfrac{2y}{yz}=\dfrac{2x}{xz}+\dfrac{2z}{xz}\\\\\\ \dfrac{2}{y} +\dfrac{2}{z} =\dfrac{2}{z}+\dfrac{2}{x}\qquad\to\qquad \dfrac{2}{y} =\dfrac{2}{x}\\\\\\2x=2y\qquad\to\qquad \boxed{x=y} \\\\\\\dfrac{2z+2y}{yz}=\dfrac{2y+2x}{xy}\qquad\to\qquad \dfrac{2z}{yz}+\dfrac{2y}{yz}= \dfrac{2y}{xy}+\dfrac{2x}{xy}\\\\\\ \dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}\qquad\to\qquad \dfrac{2}{z}=\dfrac{2}{x}\\\\\\ 2x=2z \qquad\to\qquad\boxed{x=z}[/tex]
Sabemos que x é igual a y, portanto também é válido dizer que y é igual a z, então para resolver o sistema de equações devemos substituir z por x e y por x na última ou quarta equação, se fizermos isso podemos ver que x é igual a:
[tex]xyz-1=0\qquad\to\qquad x\cdot x \cdot x-1=0\\\\\\ x^3-1=0\qquad\to\qquad x^3=1\\\\\\ x=\sqrt[3]{1}\qquad \to\qquad \boxed{x=1}[/tex]
Como x é igual a 1, mas também foi igual a y e z, podemos dizer que y é igual a 1 e z também é igual a 1.
Resposta: As dimensões da caixa são 1 × 1 × 1 m.
Veja mais sobre o assunto de otimização nos links a seguir:
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