Bonjour/soir, j'ai deja posé la question, mais personne m'a repondu, aide-moi svp, la sequence est sur les fonctions exponentielle. Merci en avance.
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = [tex]e^x-x-1[/tex].
1. Étudier le sens de variations de la fonction f.
2. Construire le tableau de variations de f et en déduire le signe de f sur R.
3. En déduire que pour tout réel x, le quotient k(x)= [tex]\frac{e^x-1}{e^x-x}[/tex] est bien défini.
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = [tex]e^x-x-1[/tex].
1. Étudier le sens de variations de la fonction f.
2. Construire le tableau de variations de f et en déduire le signe de f sur R.
3. En déduire que pour tout réel x, le quotient k(x)= [tex]\frac{e^x-1}{e^x-x}[/tex] est bien défini.
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = e^x - x - 1 sur IR
■ 1°) dérivée f ' (x) = e^x - 1
cette dérivée est positive pour x > 0
■ 2°) tableau demandé :
x --> -∞ -1 0 +1 +∞
f ' (x) -> négative 0 positive
f(x) --> +∞ 1/e 0 e +∞
il est clair que f(x) ≥ 0 .
■ 3°) k(x) = (e^x - 1)/(e^x - x)
e^x - x - 1 ≥ 0 donne e^x - x ≥ 1
donc le dénominateur de k(x) n' est jamais nul !
d' où Domaine de définition de k = IR .