Um indutor se comporta como um curto circuito em corrente contínua, e a corrente que atravessa um indutor não pode variar instantaneamente. Com base nesse contexto e nas informações da figura a seguir, determine:
a) A corrente em um indutor de 5 H.
b) A potência e a energia armazenada em 0 < t < 5 segundos.
V(t)=[tex]\left \{ {{30t^2 } \atop {0} \right.[/tex]
t>0
t<0
a) A corrente em um indutor de 5 H.
b) A potência e a energia armazenada em 0 < t < 5 segundos.
V(t)=[tex]\left \{ {{30t^2 } \atop {0} \right.[/tex]
t>0
t<0
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Para resolver esse problema, precisamos considerar a equação diferencial que descreve o comportamento do induto e a lei de Faraday. Assim, a corrente em um indutor de 5 H em t = 5 segundos é 250 A, a potência em 0 < t < 5 segundos é [tex]\(60t^5\)[/tex]W, e a energia armazenada é 156250J.
Cálculo de indutores
A Lei de Faraday para indutores é dada por:
[tex]\[v(t) = L \frac{di(t)}{dt}\][/tex]
Onde: v(t) é a tensão através do indutor no tempo t; L é a indutância do indutor; i(t) é a corrente que flui através do indutor no tempo t; [tex]\frac{di(t)}{dt}\)[/tex] é a taxa de variação da corrente em relação ao tempo.
Usando a lei de Faraday para encontrar a corrente i(t) em função do tempo:
[tex]\[30t^2 = 5 \frac{di(t)}{dt}\][/tex]
Resolvendo a equação diferencial:
[tex]\[di(t) = 6t^2dt\][/tex]
Integrando ambos os lados:
[tex]\[i(t) = 2t^3 + C\][/tex]
Para determinar a constante de integração C, podemos usar a condição inicial i(0) = 0, pois a corrente não pode variar instantaneamente em t = 0:
[tex]\[0 = 2(0)^3 + C\][/tex]
C = 0
Agora temos a expressão para a corrente em função do tempo:
[tex]\[i(t) = 2t^3\][/tex]
Para 0 < t < 5 segundos
a) A corrente em um indutor de 5 H:
A corrente em t = 5 segundos é dada por i(5) = 2(5)^3 = 250A.
b) A potência e a energia armazenada em 0 < t < 5 segundos:
A potência instantânea P(t) em um indutor é dada por [tex]\(P(t) = v(t) \cdot i(t)[/tex]. A energia armazenada W(t) em um indutor é a integral da potência ao longo do tempo: [tex]\(W(t) = \int P(t) \, dt\)[/tex].
[tex]\[P(t) = v(t) \cdot i(t) = 30t^2 \cdot (2t^3) = 60t^5\][/tex]
Integrando \(P(t)\) ao longo do intervalo de \(0\) a \(5\) segundos para obter a energia armazenada:
[tex]\[W(t) = \int_{0}^{5} 60t^5 \, dt\][/tex]
Avaliando a integral:
[tex]\[W(5) = \left[\frac{60}{6}t^6\right]_{0}^{5} = 156250 \, J\][/tex]
Portanto, a corrente em um indutor de 5 H em t = 5 segundos é 250 A, a potência em 0 < t < 5 segundos é [tex]\(60t^5\)[/tex]W, e a energia armazenada é 156250J.
#SPJ1