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[tex]\textsf{Leia abaixo}[/tex]

Explicação passo-a-passo:

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{ A = \begin{bmatrix} \sf3& \sf1& \sf - 2& \sf1 \\ \sf5 & \sf2& \sf2& \sf3 \\ \sf 7& \sf4& \sf- 5& \sf0 \\ \sf 1& \sf- 1& \sf1 1& \sf2\end{bmatrix} } \end{gathered}$}[/tex]

Como podemos escolher qualquer linha ou coluna, vamos na linha 3.

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{ Det \,A } = 7 \cdot A _{31} + 4 \cdot A _{32} + ( - 5) \cdot A _{33} + 0 \cdot A _{34} \end{gathered}$} [/tex]

Calculando os cofatores, onde omitiremos os cálculos dos determinantes das matrizes 3×3:

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{ A _{31} = ( - 1) {}^{4} \cdot \begin{bmatrix} \sf1& \sf - 2& \sf1 \\ \sf2& \sf2& \sf3 \\ \sf - 1&11& \sf2\end{bmatrix}} = 9\end{gathered}$} [/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{ A_{32} = ( - 1) {}^{5} \cdot \begin{bmatrix} \sf3 & \sf - 2& \sf1 \\ \sf5& \sf2 & \sf3 \\ \sf1& \sf11& \sf2\end{bmatrix}} = 20\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{ A_{33} = ( - 1) {}^{6} \cdot } \begin{bmatrix} \sf3& \sf1& \sf1 \\ \sf5 & \sf2& \sf3 \\ \sf1 & \sf - 1& \sf2\end{bmatrix} = 7\end{gathered}$} [/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{ D et\,A = 7 \cdot9 + 4 \cdot20 + ( - 5) \cdot7 + 0} \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{ D et\,A = 63 + 80 - 35} \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{ D et\,A = 143 - 35} \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{ D et\,A = 108} \end{gathered}$}[/tex]

Chegamos ao resultado 108, que é o determinante dessa matriz 4x4 ou matriz de 4ª ordem.