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93 Un salon de thé est ouvert de 9 h à 19 h.
Le nombre de clients présents dans le salon est
modélisé par la fonction f définie sur [0 ; 10] par
f(t)= -0,51³ +6,7512 - 21t+ 35, où t désigne le
temps en heures écoulé depuis 9 h.
1. Calculer f(0). Interpréter le résultat.
2. a. Calculer f'(t).
b. Étudier le signe de f'(t) puis en déduire le sens
de variation de fsur [0; 10].
c. Dresser le tableau de variation defsur [0; 10].
3. a. À quelle heure le nombre de clients attendus
dans le salon est-il maximal ?
b. Donner une estimation du nombre maximal de
clients attendus.
93 Un salon de thé est ouvert de 9 h à 19 h.
Le nombre de clients présents dans le salon est
modélisé par la fonction f définie sur [0 ; 10] par
f(t)= -0,51³ +6,7512 - 21t+ 35, où t désigne le
temps en heures écoulé depuis 9 h.
1. Calculer f(0). Interpréter le résultat.
2. a. Calculer f'(t).
b. Étudier le signe de f'(t) puis en déduire le sens
de variation de fsur [0; 10].
c. Dresser le tableau de variation defsur [0; 10].
3. a. À quelle heure le nombre de clients attendus
dans le salon est-il maximal ?
b. Donner une estimation du nombre maximal de
clients attendus.
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Réponse :
Explications étape par étape :
Pour t = 0, on a :
f(0) = -0,51³ +6,7512 - 21×0 + 35 = 41,2512
Cela signifie qu'à l'ouverture du salon à 9 heures, on s'attend à avoir environ 41 clients présents.
a. La dérivée de f est :
f'(t) = -1,53t² - 21
b. La dérivée est une fonction polynômiale de degré 2, dont le coefficient dominant est négatif. Par conséquent, elle est négative sur l'intervalle [0 ; √(21/1,53)] ≈ [0 ; 3,4] et positive sur l'intervalle [√(21/1,53) ; 10] ≈ [3,4 ; 10]. Ainsi, f est décroissante sur [0 ; 3,4] et croissante sur [3,4 ; 10].
c. Le tableau de variation de f sur l'intervalle [0 ; 10] est le suivant :
t 0 3,4 10
f'(t) négatif 0 positif
f(t) positif max positif
var. décroît croît
a. Le nombre de clients atteint un maximum lorsque f'(t) = 0, c'est-à-dire lorsque t = √(21/1,53) ≈ 3,4 heures après l'ouverture du salon, soit vers 12h24.
b. Le nombre maximal de clients attendus est f(√(21/1,53)) ≈ 49,22. Ainsi, on peut s'attendre à avoir environ 49 clients présents vers 12h24.