Explications étape par étape:

1) Pour démontrer que vn est une suite géométrique, il faut prouver que le rapport v(n+1) / vn donne une constante.

Si t'aimes le calcul long et compliqué, tu calcules ce rapport. Sinon, plus astucieux, tu commences par déterminer v(n+1) :

Comme vn = un - 6, on aura v(n+1) = u(n+1) - 6 = (1/3)un + 4 - 6 = (1/3)un - 2.

Là, en examinant bien, tu vois direct que v(n+1) = (1/3)vn donc v(n+1) / vn = 1/3.

Vn est donc géométrique de raison 1/3 et de 1er terme v0 = u0 - 6 = - 5.

2) Comme vn géométrique, vn s'exprime sous la forme vn = v0 x r^n avec r raison de la suite vn donc vn = - 5 x (1/3)^n. Or vn = un - 6 donc un = vn + 6 ce qui donne le résultat souhaité