Um grilo ao pular de um lugar para outro descreve uma trajetória parabólica descrita pela função H(t) = -2t² +8t, em que H(t) representa a altura, em metros, atingida pelo grilo e t o tempo, em segundos. Determine:
a) A altura do grilo depois de 2 segundos.
b) A altura do grilo depois de 3 segundos.
c) O instante de tempo que o grilo alcança a altura máxima (z.);
d) A altura máxima atingida pelo grilo (y);
e) O tempo que o grilo gasta no pulo.
a) A altura do grilo depois de 2 segundos.
b) A altura do grilo depois de 3 segundos.
c) O instante de tempo que o grilo alcança a altura máxima (z.);
d) A altura máxima atingida pelo grilo (y);
e) O tempo que o grilo gasta no pulo.
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Após realizados os cálculos chegamos a conclusão de que:
a) h( 2 ) = 8 m;
b) h( 3 ) = 6 m;
c) t = 2 s;
d) h_max = 8 m;
e) t = 4 s.
Uma função f: R → R chama-se quadrática quando existem números a, b e c reais com a ≠ 1, tal que que f( x ) = ax² + bx + c para todo x ∈ R.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x \to ax^{2} + bx + c } $ }[/tex]
O gráfico da função de 2° grau:
A concavidade da parábola depende do coeficiente a.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(t) = -2t^{2} +8t } $ }[/tex]
Solução:
a) A altura do grilo depois de 2 segundos;
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(t) = -2t^{2} +8t } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(2) = -2 \cdot 2^{2} +8 \cdot 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(2) = -2 \cdot 4 +16 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(2) = -8 +16 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf h(2) = 8 \:m }[/tex]
b) A altura do grilo depois de 3 segundos;
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(t) = -2t^{2} +8t } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(3) = -2 \cdot 3^{2} +8\cdot 3 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(3) = -2 \cdot 9 +24 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(3) = -18 +24 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf h(3) = 6 \:m }[/tex]
c) O instante de tempo que o grilo alcança a altura máxima;
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(t) = -2t^{2} +8t } $ }[/tex]
Aplicando a coordenada do vértice de x, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ t = x_v = -\: \dfrac{b}{2a} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ t = -\: \dfrac{8}{2\cdot (-2)} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ t = -\: \dfrac{8}{-\;4} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf t = 2 \: s }[/tex]
d) A altura máxima atingida pelo grilo (y);
Aplicando a coordenada do vértice de y, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ H_{max} = y_v = - \dfrac{\Delta }{4a} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ H_{max} = - \: \dfrac{[b^{2} -4ac ] }{4a} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{H_{max} = - \: \dfrac{[ 8 ^{2} -4 \cdot (-2) \cdot 0 ] }{4\cdot (-2)} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ H_{max} = - \: \dfrac{[ 64 -0 ] }{-\:8 } } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ H_{max} = - \: \dfrac{64}{-\:8 } } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf h_{max} = 8 \: m }[/tex]
e) O tempo que o grilo gasta no pulo.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h(t) = -2t^{2} +8t } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{0 = -2t^{2} +8t } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ t \cdot (-2t +8) =0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ t = 0 \to n\tilde{a}o ~ serve } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -2t +8 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -2 t = -8 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ t = \dfrac{-\:8}{-\;2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf t = 4 \: s }[/tex]
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