Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o n° de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o n° de faces quadrangulares é o dobro do n° de faces triangulares.
Lista de comentários
FelipeQueiroz
Questão onde precisa-se saber a relação de Euler e resolver sistemas de equações.
i) Vamos, inicialmente, chamar de e o número de faces triangulares, quadrangulares e hexagonais desse poliedro, respectivamente; também usemos a notação usual para o número de faces, arestas e vértices ( e , respectivamente). A partir do que foi dito na questão temos que
e pela relação de Euler temos o seguinte:
Ao contarmos todas as faces triangulares, quadrangulares e hexagonais teremos contado todas as faces. Isso quer dizer que
ii) Um triângulo tem 3 lados, nenhuma novidade, um quadrilátero possui 4 lados e um hexágono, 6. Contando todos os lados de todas as faces do poliedro encontramos , então é de se esperar que essa expressão seja igual ao número de arestas do poliedro. Porém, como uma aresta é comum a duas faces, temos que aquela expressão vale, na verdade, . Trocando em miúdos e fazendo a substituição () teremos:
iii) Agora temos o seguinte sistema de equações:
Como queremos encontrar apenas o valor de é melhor que multipliquemos a primeira equação por -11 e a segunda por 3. O sistema fica, então:
Somando as duas equações encontramos
Portanto o poliedro possui apenas uma face hexagonal.
Lista de comentários
i) Vamos, inicialmente, chamar de e o número de faces triangulares, quadrangulares e hexagonais desse poliedro, respectivamente; também usemos a notação usual para o número de faces, arestas e vértices ( e , respectivamente). A partir do que foi dito na questão temos que
e pela relação de Euler temos o seguinte:
Ao contarmos todas as faces triangulares, quadrangulares e hexagonais teremos contado todas as faces. Isso quer dizer que
ii) Um triângulo tem 3 lados, nenhuma novidade, um quadrilátero possui 4 lados e um hexágono, 6. Contando todos os lados de todas as faces do poliedro encontramos , então é de se esperar que essa expressão seja igual ao número de arestas do poliedro. Porém, como uma aresta é comum a duas faces, temos que aquela expressão vale, na verdade, . Trocando em miúdos e fazendo a substituição () teremos:
iii) Agora temos o seguinte sistema de equações:
Como queremos encontrar apenas o valor de é melhor que multipliquemos a primeira equação por -11 e a segunda por 3. O sistema fica, então:
Somando as duas equações encontramos
Portanto o poliedro possui apenas uma face hexagonal.