Resposta:

Para encontrar a altura máxima atingida pela bala, podemos encontrar o ponto de máxima altura da parábola. Isso é feito encontrando o ponto de inflexão da parábola, que é o ponto onde a curvatura da parábola muda de concavidade para convexidade. Podemos encontrar o ponto de inflexão da parábola encontrando o valor de x para o qual a derivada da equação da parábola é igual a zero.

A derivada da equação y = -3x² + 60x é y' = -6x + 60. Definindo y' = 0, temos -6x + 60 = 0, então x = 10. Isso significa que o ponto de inflexão da parábola é (10, 0).

Agora, podemos substituir x = 10 na equação da parábola para encontrar o valor de y, que será a altura máxima atingida pela bala: y = -3 * 10² + 60 * 10 = -300 + 600 = 300. Portanto, a altura máxima atingida pela bala é 300.

Para encontrar o alcance do disparo, podemos encontrar o valor de x para o qual y = 0. Isso significa que a bala atingiu o solo. Substituindo y = 0 na equação da parábola, temos 0 = -3x² + 60x, então 3x² - 60x = 0. Usando a fórmula geral de resolução de equações de segundo grau, temos:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Substituindo os valores de a, b e c na fórmula acima, temos:

x = (-(-60) ± √((-60)² - 4 * -3 * 0)) / 2 * -3

x = (60 ± √(3600)) / -6

x = (60 ± 60) / -6

x = -10 ou x = 10

Esses são os valores de x para os quais y = 0, ou seja, os pontos onde a bala atinge o solo. Portanto, o alcance do disparo é de 10 - (-10) = 20.

Verified answer

Com base no cálculo podemos afirmar que a altura máxima atingida pela bala foi de 300 metros e a altura máxima atingida pela bala foi de 20 metros.

Uma função [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ }[/tex] chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf a \neq 0 $ }[/tex] , tais que f(x) = ax² + bx + c para todo x ∈ R.

Exemplos:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad f(x) = x^{2} +10x - 25 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad y = x^{2} +10x } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad y = x^{2} - 25 } $ }[/tex]

Ao construir um gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c. Notamos sempre que:

• a > 0, parábola tem a concavidade voltada para cima;
• a < 0, parábola tem a concavidade voltada para baixo.

Coordenadas do vértice da parábola:

O valor de x na determinação do vértice de uma parábola é dado por:

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ x_V = -\: \dfrac{b}{2a} } $ } }[/tex]

e o valor de y é calculado por:

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ y_V = -\: \dfrac{ \Delta}{4a} } $ } }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf y = -3x^{2} + 60x \\ \sf x \to dist\hat{a}ncia \\ \sf y \to altura \end{cases} } $ }[/tex]

Solução:

a) a altura máxima atingida pela bala;

Como a = - 3 < 0, a parábola tem um ponto de máximo V cuja coordenada é dada por:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h_{max} = y_v = -\: \dfrac{\Delta }{4a} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h_{max} = -\: \dfrac{[ b^2 -4ac] }{4a} } $ }\\[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h_{max} = -\: \dfrac{[ (60)^2 -4\cdot (-3) \cdot 0] }{4\cdot (-3)} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h_{max} = -\: \dfrac{[ 3\:600 -0] }{ -12} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ h_{max} = \dfrac{3\:600 }{ 12} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf h_{max} = 300 \: m }[/tex]

Portanto, a altura máxima atingida é 300 m.

b) o alcance do disparo.

A bala toca o solo quando y = 0.

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = -3x^{2} + 60x } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -3x^{2} + 60x = 0 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ -3x \cdot (x - 20) = 0 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{-3x = 0 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = - \dfrac{0}{3} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x' = 0 \to n\tilde{a}o ~ conv\acute{e}m~ ponto ~ inicial }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x - 20 = 0 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = 0 + 20 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 20 \: m }[/tex]

O alcance do disparo é 20 m.

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