Uma fábrica produz e vende peças para as grandes montadoras de veículos. O lucro anual da produção dessas peças é dado pela função a seguir,
L(x) = -x³+4x² - 4x +3 para 0 ≤ x ≤ 3
em que x é o número de peças produzidas em milhares por ano e, L(x) o lucro em milhões de reais. Em face do exposto, estude o comportamento da função lucro dessa empresa. O lucro máximo anual da fábrica é
(A) Igual a 2 milhões de reais.
(B) Aproximadamente 4 milhões de reais.
(C) Aproximadamente 1,8 milhões de reais.
(D) Aproximadamente meio milhão de reais.
(*) (E) Exatamente 3 milhões de reais.
L(x) = -x³+4x² - 4x +3 para 0 ≤ x ≤ 3
em que x é o número de peças produzidas em milhares por ano e, L(x) o lucro em milhões de reais. Em face do exposto, estude o comportamento da função lucro dessa empresa. O lucro máximo anual da fábrica é
(A) Igual a 2 milhões de reais.
(B) Aproximadamente 4 milhões de reais.
(C) Aproximadamente 1,8 milhões de reais.
(D) Aproximadamente meio milhão de reais.
(*) (E) Exatamente 3 milhões de reais.
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Calculando a derivada da função lucro, temos que, o lucro máximo da empresa é 3 milhões de reais, alternativa E.
Derivando a função
Para estudar o comportamento da função dada podemos utilizar a derivada dela. Dessa forma, temos que:
[tex]\dfrac{d}{dx}(L) = -3x^2 + 8x - 4[/tex]
A derivada é uma função quadrática cujo coeficiente que acompanha o termo [tex]x^2[/tex] é negativo, logo o gráfico associado é uma parábola com concavidade voltada para baixo. Temos que:
[tex]-3x^2 + 8x - 4 = -(3x - 2)(x - 2)[/tex]
As raízes da função derivada são 2/3 e 2. Temos que, para os valores onde a derivada de uma função é negativa a função é decrescente e para os valores onde a derivada é positiva a função é crescente. Dessa forma:
Os candidatos a valor máximo são os extremos dos intervalos. Observando que:
[tex]L(0) = 3 \quad L(2/3) = 1,81 \quad L(2) = 3 \quad L(3) = 0[/tex]
Concluímos que, o lucro máximo anual é exatamente 3 milhões de reais.
Para mais informações sobre derivadas, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48098014
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