Resposta:

Para calcular o número de modos distintos em que uma família de 6 pessoas pode se acomodar em uma fila de 10 poltronas, podemos usar o conceito de permutação.

Uma permutação é uma disposição ordenada de objetos. Nesse caso, queremos calcular o número de permutações das 6 pessoas em 10 poltronas.

O número de permutações pode ser calculado usando a fórmula de permutação:

P(n, r) = n! / (n - r)!

Onde n é o número total de objetos e r é o número de objetos selecionados.

No nosso caso, n = 10 (número de poltronas) e r = 6 (número de pessoas).

Portanto, o número de modos distintos em que a família de 6 pessoas pode se acomodar nas poltronas é:

P(10, 6) = 10! / (10 - 6)! = 10! / 4! = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (4 * 3 * 2 * 1) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 151,200

Portanto, existem 151,200 modos distintos em que a família de 6 pessoas pode se acomodar nas 10 poltronas do teatro.

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