Un épargnant place 5000 € sur un compte rémunéré à 2,5 %% par an
* Modéliser cette situation par une suite
* Quel est la nature de cette suite ?
* Préciser son premier terme et sa raison
* calculer les 3 premier termes de cette Suite
* Au bout de combien d'années le capital de cette épargrant aura-il doublé?
* Modéliser cette situation par une suite
* Quel est la nature de cette suite ?
* Préciser son premier terme et sa raison
* calculer les 3 premier termes de cette Suite
* Au bout de combien d'années le capital de cette épargrant aura-il doublé?
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Réponse :
Bonjour
Une augmentation de 2,5% est associée à un coefficient multiplicateur de 1,025. On peut donc modéliser la situation par la suite (uₙ), avec uₙ₊₁ = 1,025uₙ . Cette suite est une suite géométrique de raison 1,025 et de premier terme u₀ = 5000 (somme placée au départ).
On peut alors déterminer le terme général uₙ = 5000 × 1,025ⁿ
u₁ = 5000 × 1,025 = 5125 euros
u₂ = 5000 × 1,025² = 5253,125 euros
u₃ = 5000 × 1,025³ = 5384,453125 euros
On veut savoir quand le capital aura doublé, c'est à dire quand il sera supérieur ou égal à 10 000 euros.
On doit donc résoudre l'inéquation :
uₙ ≥ 10000
⇔ 5000 × 1,025ⁿ ≥ 10000
⇔ 1,025ⁿ ≥ 2
⇔ ln(1,025ⁿ) ≥ ln(2)
⇔ nln(1,025) ≥ ln(2)
⇔ n ≥ ln(2) ÷ ln(1,025)
⇔ n ≥ 28,07
C'est donc la 29ème année que le capital aura doublé.