Réponse :

Bonjour

Une augmentation de 2,5% est associée à un coefficient multiplicateur de 1,025. On peut donc modéliser la situation par la suite (uₙ), avec uₙ₊₁ = 1,025uₙ . Cette suite est une suite géométrique de raison 1,025 et de premier terme u₀ = 5000 (somme placée au départ).

On peut alors déterminer le terme général uₙ = 5000 × 1,025ⁿ

u₁ = 5000 × 1,025 = 5125 euros

u₂ = 5000 × 1,025² = 5253,125 euros

u₃ = 5000 × 1,025³ = 5384,453125 euros

On veut savoir quand le capital aura doublé, c'est à dire quand il sera supérieur ou égal à 10 000 euros.

On doit donc résoudre l'inéquation :

uₙ ≥ 10000

⇔ 5000 × 1,025ⁿ ≥ 10000

⇔ 1,025ⁿ ≥ 2

⇔ ln(1,025ⁿ) ≥ ln(2)

⇔ nln(1,025) ≥ ln(2)

⇔ n ≥ ln(2) ÷ ln(1,025)

⇔ n ≥ 28,07

C'est donc la 29ème année que le capital aura doublé.