Un téléphérique progresse à vitesse constante : à chaque seconde, son altitude augmente de 0,75 m. La gare de départ se situe à une altitude de 1 450 m. Pour tout entier naturel n, on note an l'altitude de la cabine après n secondes de trajet, en mètre.
1. Déterminer ao, a₁ et a₂.
2. Montrer que la suite (an) est arithmétique.
3. La durée du trajet est de 15 minutes. Quelle est l'altitude de la gare d'arrivée ?
1. Déterminer ao, a₁ et a₂.
2. Montrer que la suite (an) est arithmétique.
3. La durée du trajet est de 15 minutes. Quelle est l'altitude de la gare d'arrivée ?
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1.On a :
a₀ = 1 450 m, car la cabine démarre à une altitude de 1 450 m.
a₁ = 1 450 m + 0,75 m = 1 450,75 m, car l'altitude augmente de 0,75 m à chaque seconde.
a₂ = 1 450 m + 2 × 0,75 m = 1 451,5 m, car l'altitude augmente de 0,75 m à chaque seconde, donc en deux secondes elle aura augmenté de 2 × 0,75 m.
2.Montrons que la suite (an) est arithmétique, c'est-à-dire qu'il existe un réel d tel que pour tout entier naturel n, on ait an = a₀ + nd.
On a :
a₀ = 1 450 m
a₁ = 1 450 m + 0,75 m = 1 450,75 m
a₂ = 1 450 m + 2 × 0,75 m = 1 451,5 m
On peut constater que a₁ - a₀ = 0,75 m et que a₂ - a₁ = 0,75 m. Donc la raison de la suite (an) est d = a₁ - a₀ = a₂ - a₁ = 0,75 m. Ainsi, on a bien an = a₀ + nd, avec d = 0,75 m pour tout entier naturel n.
3.La durée du trajet est de 15 minutes, soit 900 secondes. À chaque seconde, l'altitude augmente de 0,75 m, donc après 900 secondes, l'altitude de la cabine sera de :
a = a₀ + nd = 1 450 + 900 × 0,75 = 2 075 m.
Ainsi, l'altitude de la gare d'arrivée est de 2 075 m.