Bonjour, je suis coincé a cet exercice est ce que quelqu'un pourrait m'aider svp
Exercice :
Calculer, raisonner (u) est la suite définie par
U0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = Un/3Un + 1.
On admet que, pour tout entier naturel n, Un ≠ 0.
La suite (Vn) est définie pour tout entier naturel n par Vn = 1/Un
1. Calculer Uv, U2 et U3 puis V1, v2 et v3.
2. Démontrer que la suite (Vn) est arithmétique.
3. En déduire l'expression de Vn, en fonction de n puis celle de Un en fonction de n.
Exercice :
Calculer, raisonner (u) est la suite définie par
U0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = Un/3Un + 1.
On admet que, pour tout entier naturel n, Un ≠ 0.
La suite (Vn) est définie pour tout entier naturel n par Vn = 1/Un
1. Calculer Uv, U2 et U3 puis V1, v2 et v3.
2. Démontrer que la suite (Vn) est arithmétique.
3. En déduire l'expression de Vn, en fonction de n puis celle de Un en fonction de n.
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Réponse:
On calcule les premiers termes de la suite (u) et (v) :
U0 = 2
U1 = U0 / (3U0 + 1) = 2 / (3*2 + 1) = 2/7
U2 = U1 / (3U1 + 1) = (2/7) / (3*(2/7) + 1) = 2/23
U3 = U2 / (3U2 + 1) = (2/23) / (3*(2/23) + 1) = 2/71
On calcule ensuite les termes de (v) :
V1 = 1/U1 = 1/(2/7) = 7/2
V2 = 1/U2 = 1/(2/23) = 23/2
V3 = 1/U3 = 1/(2/71) = 71/2
Pour démontrer que la suite (v) est arithmétique, on calcule la différence entre deux termes consécutifs :
Vn+1 - Vn = 1/U(n+1) - 1/Un = (Un - Un+1) / (Un * Un+1)
En utilisant la définition de (u), on obtient :
Vn+1 - Vn = (Un/3Un + 1 - Un) / (Un * Un/3Un + 1)
Vn+1 - Vn = -1 / (3Un + 1)
La différence est constante et égale à -1 / (3Un + 1)
donc la suite (v) est arithmétique.
Pour trouver l'expression de (v), on utilise la formule de la suite arithmétique :
Vn = V0 + n*d
où d est la différence entre deux termes consécutifs, que l'on a calculée en 2.
En remplaçant V0 par V1 et d par -1/(3Un + 1), on obtient :
Vn = 7/2 - n / (3Un + 1)
Pour trouver l'expression de (u), on utilise la relation entre (u) et (v) :
Vn = 1/Un
Donc :
Un = 1/Vn = 2 / (7 - n / (3Un + 1))
En simplifiant, on obtient :
Un = 2(3Un + 8 - n) / (21 - n)
En développant, on a :
Un(21 - n) = 6Un + 16 - 2nUn
Ce qui donne :
(n+2)Un = 16 - 21n
Et enfin :
Un = (16 - 21n) / (n+2)