On considere la suite (Un) definie par : U0=3 Un+1=2/(1+Un)
1. Calculer u1 et u2. La suite (un) est elle arithmétique ? geometrique?
2.Demontrer, par recurrence, que pour tout entier naturel n, on a : 0<=un<=3.
3.On considère la suite (vn), definie pour tout entier naturel n par :
vn=(un-1) /(un+2)
a) Calculer v0, v1, v2. Démontrer que la suite (vn) est géométrique.
b) Exprimer vn en fonction de n.
c) Exprimer un en fonction de vn. Que vaut U10 ?
1. Calculer u1 et u2. La suite (un) est elle arithmétique ? geometrique?
2.Demontrer, par recurrence, que pour tout entier naturel n, on a : 0<=un<=3.
3.On considère la suite (vn), definie pour tout entier naturel n par :
vn=(un-1) /(un+2)
a) Calculer v0, v1, v2. Démontrer que la suite (vn) est géométrique.
b) Exprimer vn en fonction de n.
c) Exprimer un en fonction de vn. Que vaut U10 ?
Lista de comentários
Bonjour,
On considère la suite [tex](u_{n})[/tex] définie par récurrence, telle que :
[tex]\left\{\begin{array}{rcr}u_{0}=3 \\\\u_{n+1}=\dfrac{2}{1+u_{n}} \end{array}\right.[/tex]
1) On calcule les termes suivants :
On a :
Comme [tex]u_{1}-u_{0}\neq u_{2}-u_{1}[/tex], la suite [tex](u_{n})[/tex] n'est pas arithmétique.
On a également :
Comme [tex]\dfrac{u_{2}}{u_{1}} \neq \dfrac{u_{1}}{u_{0}}[/tex], la suite [tex](u_{n})[/tex] n'est pas géométrique.
2)
→ Initialisation :
On sait que [tex]u_{0}=3[/tex] et donc on a bien [tex]0\leq u_{n}\leq 3[/tex].
→ Hérédité :
On sait que : [tex]u_{n+1}=\dfrac{2}{1+u_{n}}[/tex], pour tout [tex]n\geq 0[/tex].
On suppose, par hypothèse de récurrence, que :
[tex]0\leq u_{p}\leq 3[/tex]
donc : [tex]0\leq 2\leq 3[/tex] et [tex]1\leq u_{p}+1\leq 4[/tex]
donc : [tex]\dfrac{0}{1}\leq \dfrac{2}{u_{p}+1} \leq \dfrac{3}{4}[/tex]
⇒ [tex]0\leq u_{p+1}\leq 0,75[/tex]
⇒ [tex]0\leq u_{p+1}\leq 3[/tex]
→ Conclusion :
Pour tout [tex]n\in\mathbb{N}[/tex], on a [tex]0\leq u_{n}\leq 3[/tex].
3) On considère la suite [tex](v_{n})[/tex], définie pour tout entier naturel [tex]n[/tex], par :
[tex]v_{n}=\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+2}[/tex]
a) Je te laisse calculer les termes, comme expliqués dans la première question.
On a :
[tex]v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}\\ \\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2}{1+u_{n}} -1}{\dfrac{2}{1+u_{n}} +2}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2}{1+u_{n}} -\dfrac{1+u_{n}}{1+u_{n}} }{\dfrac{2}{1+u_{n}} +\dfrac{2(1+u_{n})}{1+u_{n}} }\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2-1-u_{n}}{1+u_{n}} }{\dfrac{2+2+2u_{n}}{1+u_{n}} } \\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{-u_{n}+1}{1+u_{n}} }{\dfrac{2u_{n}+4}{1+u_{n}} } \\\\\\v_{n+1}=\dfrac{-u_{n}+1}{1+u_{n}} \times \dfrac{1+u_{n}}{2u_{n}+4}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{-u_{n}+1}{2u_{n}+4}=\dfrac{-1(u_{n}-1)}{2(u_{n}+2)}} =\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+2}}[/tex]
Ainsi, [tex]v_{n+1}=-\dfrac{1}{2}v_{n}[/tex], pour tout [tex]n\geq 0[/tex].
La suite [tex](v_{n})[/tex] est donc géométrique de raison [tex]q=-\dfrac{1}{2}[/tex] et de premier terme [tex]v_{0}=\dfrac{u_{0}-1}{u_{0}+2} =\dfrac{3-1}{3+2}=0,4[/tex].
b) La suite [tex](v_{n})[/tex] a donc pour formule explicite :
[tex]v_{n}=v_{0}\times q^{n}[/tex]
soit :
[tex]v_{n}=0,4\times (-\dfrac{1}{2} )^{n}[/tex]
c) Question plus difficile...
En espérant t'avoir aidé.