Une entreprise extrait et vend une matière
première. Pour x tonnes vendues, elle réalise un béné-
fice, en euro, donné par la fonction B définie sur l'in-
tervalle [0; 50] par :
B(x) = -x³ +10x² +3000x
a) Déterminer B'(x) et étudier son signe selon les
valeurs de x.
b) En déduire le tableau de variations de B.
c) Quelle quantité de matière première, en kg, l'entre-
prise doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice maxi-
mum ? Quel est alors ce bénéfice, en euro ?
Arrondir à l'unité.
d) Contrôler les résultats à la calculatrice.
première. Pour x tonnes vendues, elle réalise un béné-
fice, en euro, donné par la fonction B définie sur l'in-
tervalle [0; 50] par :
B(x) = -x³ +10x² +3000x
a) Déterminer B'(x) et étudier son signe selon les
valeurs de x.
b) En déduire le tableau de variations de B.
c) Quelle quantité de matière première, en kg, l'entre-
prise doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice maxi-
mum ? Quel est alors ce bénéfice, en euro ?
Arrondir à l'unité.
d) Contrôler les résultats à la calculatrice.
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Explications étape par étape:
Pour déterminer la dérivée de la fonction B(x), on applique la formule de dérivation pour les polynômes :
B'(x) = -3x² + 20x + 3000
b) Pour étudier le signe de B'(x), on commence par résoudre l'équation B'(x) = 0 pour trouver les éventuels points critiques de la fonction B(x) :
-3x² + 20x + 3000 = 0
En résolvant cette équation du second degré, on trouve x = -10 et x = 100.
On peut maintenant construire le tableau de signe de B'(x) en testant les valeurs de x dans chaque intervalle entre les points critiques et les bornes de l'intervalle [0; 50]. On obtient :
x -∞ -10 0 50 100 +∞
B'(x). - + - + - +
c) La fonction B(x) admet un maximum en un point critique. Comme x doit être compris entre 0 et 50, seul x = 50 est possible. On peut donc calculer le bénéfice maximal en calculant B(50) :
B(50) = -50³ + 10(50)² + 3000(50) = 125000
L'entreprise doit donc vendre 50 tonnes de matière première pour réaliser un bénéfice maximal de 125 000 euros.
d) On peut vérifier ces résultats à la calculatrice en traçant la courbe de la fonction B(x) et en utilisant la fonction maximum. En traçant la courbe, on peut vérifier que le maximum se situe bien en x = 50 et que la valeur en ce point est bien 125 000 euros.