Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de integração por substituição trigonométrica que o valor da integral [tex]\displaystyle\sf\int\sqrt{1-4x^2}dx[/tex] é [tex]\sf\dfrac{1}{4}(\,arcsen(2x)+2x\sqrt{1-4x^2}\,)+k[/tex]✅
Integração por substituição trigonométrica
São integrais cujo integrando são da forma [tex]\sf\sqrt{a^2-x^2}[/tex],[tex]\sf\sqrt{a^2+x^2}[/tex] ou [tex]\sf\sqrt{x^2-a^2}[/tex] sendo onde a é uma constante.
Observações:
Se o integrando for da forma [tex]\sf\sqrt{a^2-x^2}[/tex] use a substituição [tex]\sf x=asen(\theta)[/tex] onde [tex]\sf dx=acos(\theta)d\theta[/tex] e [tex]\sf\sqrt{a^2-x^2}=acos(\theta)[/tex]
Se o integrando for da forma [tex]\sf\sqrt{a^2+x^2}[/tex] use a substituição [tex]\sf x=atg(\theta)[/tex] onde [tex]\sf dx=asec^2(\theta)d\theta[/tex] e [tex]\sf\sqrt{a^2+x^2}=asec(\theta)[/tex]
Se o integrando for da forma [tex]\sf\sqrt{x^2-a^2}[/tex] use a substituição [tex]\sf x=asec(\theta)[/tex] onde [tex]\sf dx=asec(\theta)\cdot tg(\theta)d\theta[/tex] e [tex]\sf\sqrt{x^2-a^2}=atg(\theta)[/tex]
(veja o anexo para melhor entender)
✍️Vamos a resolução da questão:
Note que o integrando é da forma [tex]\sf\sqrt{a^2-x^2}[/tex] portanto usaremos a substituição [tex]\sf x=asen(\theta)[/tex] onde [tex]\sf dx=acos(\theta)d\theta[/tex] e [tex]\sf\sqrt{a^2-x^2}=acos(\theta)[/tex].
Lista de comentários
Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de integração por substituição trigonométrica que o valor da integral [tex]\displaystyle\sf\int\sqrt{1-4x^2}dx[/tex] é [tex]\sf\dfrac{1}{4}(\,arcsen(2x)+2x\sqrt{1-4x^2}\,)+k[/tex]✅
Integração por substituição trigonométrica
São integrais cujo integrando são da forma [tex]\sf\sqrt{a^2-x^2}[/tex],[tex]\sf\sqrt{a^2+x^2}[/tex] ou [tex]\sf\sqrt{x^2-a^2}[/tex] sendo onde a é uma constante.
Observações:
(veja o anexo para melhor entender)
✍️Vamos a resolução da questão:
Note que o integrando é da forma [tex]\sf\sqrt{a^2-x^2}[/tex] portanto usaremos a substituição [tex]\sf x=asen(\theta)[/tex] onde [tex]\sf dx=acos(\theta)d\theta[/tex] e [tex]\sf\sqrt{a^2-x^2}=acos(\theta)[/tex].
Faça
[tex]\large\boxed{\begin{array}{l}\sf 2x=1sen(\theta)\implies x=\dfrac{1}{2}sen(\theta)\\\sf dx=\dfrac{1}{2}cos(\theta)d\theta\\\\\sf\sqrt{1-4x^2}=cos(\theta)\end{array}}[/tex]
[tex]\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int\sqrt{1-4x^2}\,dx=\int cos(\theta)\cdot\dfrac{1}{2}cos(\theta)d\theta=\dfrac{1}{2}\int cos^2(\theta)d\theta\\\\\displaystyle\sf\dfrac{1}{2}\int cos^2(\theta)d\theta=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\int (1+cos(2\theta))d\theta\\\\\displaystyle\sf\dfrac{1}{4}\bigg[\theta+\dfrac{1}{2}sen(2\theta)\bigg]+k\end{array}}[/tex]
Para facilitar a visualização da resposta em termos de x, observe o anexo 2.
[tex]\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int\sqrt{1-4x^2}\,dx=\dfrac{1}{4}(\, arcsen(2x)+2x\sqrt{1-4x^2}\,)+k\end{array}}[/tex]
Saiba mais em:
https://brainly.com.br/tarefa/24247160
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