Vamos retomar aqui o desafio que deixamos para você no início das suas atividades da semana: O Hotel de Hilbert é um famoso hotel que nunca deixou um viajante sem quarto! Isso ocorre porque o hotel tem infinitos quartos e um engenhoso gerente. Todos os quartos desse hotel são iguais e só é permitido hospedar um hóspede em cada quarto. Além disso, os quartos do hotel são numerados com números inteiros positivos (1, 2, 3, ...). Num certo dia, o Hotel de Hilbert estava com infinitos hóspedes, e um turista, que não tinha feito reserva, chegou ao hotel e solicitou um quarto. Não sabendo como proceder, o recepcionista chamou o gerente. O gerente solicitou que cada hóspede saísse do quarto em que estava e fosse para o quarto de numeração seguinte; ou seja, se um hóspede estava no quarto de número n, ele iria para n + 1. Dessa forma, o turista recém-chegado pôde ser alojado no quarto número 1. Em uma outra ocasião, chegou ao Hotel de Hilbert um ônibus com infinitos passageiros e o hotel já estava com infinitos hóspedes. Agora você é o(a) gerente e foi requisitado(a) para solucionar tamanho desafio! O que você sugere?
Fonte: Desafio: Hotel de Hilbert | Clube de Matemática da OBMEP
Fonte: Desafio: Hotel de Hilbert | Clube de Matemática da OBMEP
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O desafio do Hotel de Hilbert é um problema matemático que lida com conceitos de infinito e cardinalidade. A ideia é mostrar que, mesmo quando o hotel está completamente lotado (com infinitos hóspedes), ainda há espaço para acomodar mais hóspedes. Isso pode parecer paradoxal, mas ilustra a natureza fascinante do infinito na matemática.
No caso do ônibus com infinitos passageiros chegando ao hotel, podemos resolver o desafio da seguinte maneira:
Primeiro, vamos considerar que todos os quartos estão ocupados por hóspedes com números inteiros positivos (1, 2, 3, ...). Isso implica que não há quartos vazios.
Quando o ônibus com infinitos passageiros chega, precisamos criar espaço para eles. Para fazer isso, vamos pedir a todos os hóspedes atuais que se movam para o quarto com número dobrado (ou seja, o hóspede no quarto 1 vai para o quarto 2, o hóspede no quarto 2 vai para o quarto 4, o hóspede no quarto 3 vai para o quarto 6 e assim por diante).
Agora, temos uma quantidade infinita de quartos ímpares (1, 3, 5, ...) disponíveis para os novos passageiros do ônibus. Portanto, podemos acomodar todos eles nos quartos ímpares.
Dessa forma, conseguimos acomodar todos os passageiros do ônibus, mesmo quando o hotel já estava completamente lotado. Isso ilustra como o conceito de infinito na matemática pode levar a resultados surpreendentes e não intuitivos.