Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).
On peut écrire ça ainsi :
(vₙ) suite géométrique ⇔ il existe un réel q / ∀ n , vₙ₊₁ =q . vₙ
⇔ il existe un réel q / ∀ n , q = vₙ₊₁ / vₙ
Donc, le plus naturel, c'est de calculer vₙ₊₁ / vₙ et voir si c'est une valeur constante !
vₙ₊₁ / vₙ = (uₙ₊₁ - 4 )/ (uₙ - 4 )
= (2uₙ - 4 - 4 )/ (uₙ - 4 )
= (2uₙ - 8 )/ (uₙ - 4 )
= 2 (uₙ - 4 )/ (uₙ - 4 )
= 2
Conclusion : quelque soit n , vₙ₊₁ / vₙ = 2
On vient de prouver que cette suite est géométrique, de raison q=2
1er terme : v₀ = u₀ - 4 = 9 - 4 = 5
v₀ = 5
donc :
v₁ = 2 x v₀ = 2 x 5
v₂ = 2 v₁ = 2 x 2 x 5 = 2² x 5
...
vₙ = 2ⁿ x 5 = 5 x 2ⁿ
vₙ =5 x 2ⁿ
2) prouver que uₙ = 5 . 2ⁿ + 4 , qq soit n
On peut penser que cela a un lien avec la question précédente.
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Réponse :
Explications étape par étape :
uₙ₊₁ = 2uₙ - 4 et u₀ = 9
vₙ = uₙ - 4
1) (vₙ) géométrique ?
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).
On peut écrire ça ainsi :
(vₙ) suite géométrique ⇔ il existe un réel q / ∀ n , vₙ₊₁ =q . vₙ
⇔ il existe un réel q / ∀ n , q = vₙ₊₁ / vₙ
Donc, le plus naturel, c'est de calculer vₙ₊₁ / vₙ et voir si c'est une valeur constante !
vₙ₊₁ / vₙ = (uₙ₊₁ - 4 )/ (uₙ - 4 )
= (2uₙ - 4 - 4 )/ (uₙ - 4 )
= (2uₙ - 8 )/ (uₙ - 4 )
= 2 (uₙ - 4 )/ (uₙ - 4 )
= 2
Conclusion : quelque soit n , vₙ₊₁ / vₙ = 2
On vient de prouver que cette suite est géométrique, de raison q=2
1er terme : v₀ = u₀ - 4 = 9 - 4 = 5
v₀ = 5
donc :
v₁ = 2 x v₀ = 2 x 5
v₂ = 2 v₁ = 2 x 2 x 5 = 2² x 5
...
vₙ = 2ⁿ x 5 = 5 x 2ⁿ
vₙ =5 x 2ⁿ
2) prouver que uₙ = 5 . 2ⁿ + 4 , qq soit n
On peut penser que cela a un lien avec la question précédente.
vₙ = uₙ - 4 donc uₙ = vₙ + 4
uₙ = 5 x 2ⁿ + 4