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Bonjour,

a ) |3x - 1| = 4

⇔ 3x - 1 = -4 ou 3x - 1 = 4

⇔ 3x = -3 ou. 3x = 5

⇔ x = -1 ou x = 5/3

Sa = {-1 ; 5/3}

b ) 1 ≤ |x + 2| ≤ 2

⇔ -2 ≤ x + 2 ≤ -1 ou 1 ≤ x + 2 ≤ 2

⇔ -4 ≤ x ≤ -3 ou -1 ≤ x ≤ 0

Sb = [-4 ; -3] U [-1 ; 0]

c ) 2 ≤ | x + 3| ≤ 3

⇔ -3 ≤ x + 3 ≤ -2 ou 2 ≤ x + 3 ≤ 3

⇔ -6 ≤ x ≤ -5 ou -1 ≤ x ≤ 0

Sc = [-6 ; 5] U [-1 ; 0]

d ) |7x - 5| ≤ 7/2

⇔ -7/2 ≤ 7x - 5 ≤ 7/2

⇔ 5 - 7/2 ≤ 7x ≤ 5 + 7/2

⇔ 3/2 ≤ 7x ≤ 17/2

⇔ 3/14 ≤ x ≤ 17/14

Sd = [3/14 ; 17/14]

e ) √(7 - x) < √(2x - 2)

Notons d'abord que x ∈ [1 ; 7]

Pour tout x ∈ [1 ; 7], on a

√(7 - x) < √(2x - 2)

⇔ [√(7 - x)]² < [√(2x - 2)]²

⇔ 7 - x < 2x - 2

⇔ 3x > 9

⇔ x > 3

Se = ]3 ; 7]

f ) (F) : √[(7 - x)²] < √[(2x - 2)²]

(F) ⇔ |7 - x| < |2x - 2|

⇔ |x - 7| < 2 |x - 1|

Si x ≤ 1, alors (F) ⇔ 7 - x < 2 - 2x ⇔ x < -5

Sur ]-∞ ; 1] l'ensemble des solutions de (F) est Sf1 = ]-∞ ; -5[

Si 1 < x ≤ 7, alors (F) ⇔ 7 - x < 2x - 2 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3

Sur ]1 ; 7] l'ensemble des solutions de (F) est  Sf2 = ]3 ; 7]

Si x > 7, alors (F) ⇔ x - 7 < 2x - 2 ⇔ x > -5

Sur ]7 ; +∞] l'ensemble des solutions de (F) est Sf3 = ]7 ; +∞]

On en déduit que Sf = Sf1 U Sf2 U Sf3 = ]-∞ ; -5[ U ]3 ; +∞]